Номер 214, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

214. В правильную шестиугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

214. В правильную шестиугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен $R$. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры большего и меньшего оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Поскольку в усеченную пирамиду вписан шар, ее высота $H$ равна диаметру шара, то есть $H = 2R$.

Рассмотрим осевое сечение усеченной пирамиды, проходящее через середины противоположных сторон оснований. Это сечение представляет собой равнобедренную трапецию, в которую вписана окружность радиуса $R$. Боковые стороны этой трапеции равны апофеме $h_a$ усеченной пирамиды, основания равны апофемам (радиусам вписанных окружностей) оснований пирамиды, которые мы обозначим как $r_1$ и $r_2$. Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $H=2R$. Угол при большем основании этой трапеции равен двугранному углу при ребре большего основания пирамиды, то есть $60^{\circ}$.

1. Нахождение апофемы $h_a$.

В равнобедренной трапеции (осевом сечении) проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — это апофема $h_a$;
• противолежащий катет — это высота пирамиды $H=2R$;
• острый угол равен $60^{\circ}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(60^{\circ}) = \frac{H}{h_a} = \frac{2R}{h_a}$

Отсюда выразим апофему $h_a$: $h_a = \frac{2R}{\sin(60^{\circ})} = \frac{2R}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4R}{\sqrt{3}}$

2. Нахождение суммы периметров оснований.

Так как в трапецию (осевое сечение) вписана окружность, суммы ее противоположных сторон равны. Сумма оснований трапеции (апофем оснований пирамиды) равна сумме ее боковых сторон (апофем пирамиды): $r_1 + r_2 = h_a + h_a = 2h_a$. Но это неверно. Сумма оснований трапеции равна $r_1+r_1$ и $r_2+r_2$ (диаметры), а мы взяли сечение через середины сторон, так что основания трапеции равны $2r_1$ и $2r_2$. Тогда $2r_1 + 2r_2 = h_a + h_a = 2h_a$, откуда $r_1 + r_2 = h_a$.

Подставим найденное значение $h_a$: $r_1 + r_2 = \frac{4R}{\sqrt{3}}$

Основания пирамиды — правильные шестиугольники. Сторона правильного шестиугольника $a$ связана с радиусом вписанной в него окружности $r$ соотношением $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, откуда $a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

Периметр правильного шестиугольника $P = 6a$. Тогда: $P_1 = 6a_1 = 6 \cdot \frac{2r_1}{\sqrt{3}} = \frac{12r_1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}r_1$
$P_2 = 6a_2 = 6 \cdot \frac{2r_2}{\sqrt{3}} = \frac{12r_2}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}r_2$

Сумма периметров: $P_1 + P_2 = 4\sqrt{3}r_1 + 4\sqrt{3}r_2 = 4\sqrt{3}(r_1 + r_2)$

Подставим сюда $r_1 + r_2 = h_a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$: $P_1 + P_2 = 4\sqrt{3} \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}} = 16R$

3. Вычисление площади боковой поверхности.

Теперь подставим найденные значения в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 16R \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}} = 8R \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}} = \frac{32R^2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $S_{бок} = \frac{32R^2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{32\sqrt{3}}{3}R^2$