Номер 220, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар радиуса $R$. Радиус шара, соединяющий его центр с точкой окружности основания конуса, образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

220. Около конуса, осевым сечением которого является остроугольный треугольник, описан шар радиуса $R$. Радиус шара, соединяющий его центр с точкой окружности основания конуса, образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности данного конуса.

Обозначим искомые параметры конуса: $r$ — радиус основания, $l$ — образующая, $h$ — высота. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$. Для решения задачи необходимо выразить $r$ и $l$ через радиус описанного шара $R$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через ось конуса. В сечении мы получим равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в большую окружность шара. Пусть $S$ — вершина конуса, $O'$ — центр его основания, а $A$ — произвольная точка на окружности основания. Тогда $r = O'A$, $h = SO'$, $l = SA$. Центр описанного шара $O$ лежит на оси конуса $SO'$.

Согласно условию, радиус шара $OA$, соединяющий центр шара $O$ с точкой $A$ на окружности основания конуса, образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Проекцией отрезка $OA$ на плоскость основания является отрезок $O'A$. Следовательно, угол между $OA$ и его проекцией $O'A$ есть $\angle OAO' = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAO'$ (с прямым углом при вершине $O'$). Гипотенуза $OA$ равна радиусу шара $R$. Катет $O'A$ — это радиус основания конуса $r$. Из определения косинуса находим: $r = O'A = OA \cdot \cos(\alpha) = R \cos\alpha$.

Катет $OO'$ — это расстояние от центра шара до плоскости основания конуса. Из определения синуса находим: $OO' = OA \cdot \sin(\alpha) = R \sin\alpha$.

В условии сказано, что осевое сечение конуса является остроугольным треугольником. Для вписанного в окружность треугольника это означает, что центр описанной окружности (в нашем случае — центр шара $O$) лежит внутри этого треугольника. Таким образом, точка $O$ находится на оси конуса между вершиной $S$ и центром основания $O'$.

Высота конуса $h$ равна расстоянию $SO'$. Так как $O$ лежит между $S$ и $O'$, высота конуса равна сумме радиуса шара $SO$ и расстояния $OO'$: $h = SO' = SO + OO' = R + R \sin\alpha = R(1 + \sin\alpha)$.

Теперь найдем образующую конуса $l$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SO'A$ (с прямым углом при вершине $O'$). По теореме Пифагора $l^2 = h^2 + r^2$. Подставим найденные выражения для $h$ и $r$: $l^2 = (R(1 + \sin\alpha))^2 + (R \cos\alpha)^2$ $l^2 = R^2 (1 + 2\sin\alpha + \sin^2\alpha) + R^2 \cos^2\alpha$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем: $l^2 = R^2 (1 + 2\sin\alpha + 1) = R^2 (2 + 2\sin\alpha) = 2R^2(1 + \sin\alpha)$ Отсюда, $l = \sqrt{2R^2(1 + \sin\alpha)} = R\sqrt{2(1 + \sin\alpha)}$.

Зная радиус основания $r$ и образующую $l$, мы можем найти площадь боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l = \pi (R \cos\alpha) \cdot (R\sqrt{2(1 + \sin\alpha)})$ $S_{бок} = \pi R^2 \cos\alpha \sqrt{2(1 + \sin\alpha)}$.

Ответ: $S_{бок} = \pi R^2 \cos\alpha \sqrt{2(1 + \sin\alpha)}$