Номер 223, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Образующая усечённого конуса наклонена к плоскости большего основания под углом $α$, а радиусы оснований конуса равны $R$ и $r$, $R > r$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

223. Образующая усечённого конуса наклонена к плоскости большего основания под углом $\alpha$, а радиусы оснований конуса равны $R$ и $r$, $R > r$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и описанного около него шара. Осевым сечением конуса является равнобокая трапеция, а сечением шара — большой круг, который описан около этой трапеции. Таким образом, радиус описанного шара $R_{сф}$ равен радиусу окружности, описанной около этой трапеции.

Пусть осевое сечение — трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. Длины оснований равны диаметрам оснований конуса: $AD = 2R$, $BC = 2r$. Боковая сторона $AB$ является образующей конуса. Угол наклона образующей к плоскости большего основания — это угол $\angle BAD = \alpha$.

Найдем высоту трапеции $H$ и ее диагональ $d$. Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $AK$ равен:
$AK = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$.

Высота трапеции $H = BK$ находится из треугольника $ABK$:
$H = AK \cdot \tan(\alpha) = (R - r) \tan(\alpha)$.

Теперь найдем диагональ трапеции $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKD$. Катет $KD$ равен:
$KD = AD - AK = 2R - (R - r) = R + r$.
По теореме Пифагора для треугольника $BKD$:
$d^2 = BD^2 = BK^2 + KD^2 = H^2 + (R + r)^2 = ((R - r) \tan(\alpha))^2 + (R + r)^2$.

Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника $ABD$. По теореме синусов для треугольника $ABD$ имеем:
$2R_{сф} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{d}{\sin(\alpha)}$.
Отсюда $R_{сф} = \frac{d}{2\sin(\alpha)}$.

Возведем в квадрат и подставим выражение для $d^2$:
$R_{сф}^2 = \frac{d^2}{4\sin^2(\alpha)} = \frac{((R - r) \tan(\alpha))^2 + (R + r)^2}{4\sin^2(\alpha)}$.

Упростим полученное выражение, используя то, что $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$:
$R_{сф}^2 = \frac{(R - r)^2 \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + (R + r)^2}{4\sin^2(\alpha)} = \frac{(R - r)^2 \sin^2(\alpha)}{4\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)} + \frac{(R + r)^2}{4\sin^2(\alpha)}$
$R_{сф}^2 = \frac{(R - r)^2}{4\cos^2(\alpha)} + \frac{(R + r)^2}{4\sin^2(\alpha)}$.

Извлекая квадратный корень, получаем итоговую формулу для радиуса описанного шара:
$R_{сф} = \sqrt{\frac{(R - r)^2}{4\cos^2(\alpha)} + \frac{(R + r)^2}{4\sin^2(\alpha)}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(R-r)^2}{\cos^2\alpha} + \frac{(R+r)^2}{\sin^2\alpha}}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(R-r)^2}{\cos^2\alpha} + \frac{(R+r)^2}{\sin^2\alpha}}$