Номер 229, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. В конус, образующая которого равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

229. В конус, образующая которого равна 2 см и наклонена на плоскости основания под углом $30^{\circ}$, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Линия, по которой вписанная сфера касается боковой поверхности конуса, является окружностью. Для нахождения ее длины необходимо определить ее радиус. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью (которая является сечением сферы).

Пусть $l$ — образующая конуса, $R$ — радиус основания, $H$ — высота конуса, и $\alpha$ — угол наклона образующей к плоскости основания.

По условию задачи:
$l = 2$ см
$\alpha = 30°$

1. Найдем радиус основания $R$ и высоту конуса $H$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $l$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой.
Радиус основания $R$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$:
$R = l \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(30°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.
Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$:
$H = l \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

2. Найдем радиус окружности касания.
Пусть $r_k$ — радиус окружности, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.
В осевом сечении, которое представляет собой равнобедренный треугольник $SAB$ (где $S$ — вершина конуса, $AB$ — диаметр основания), вписанная окружность касается стороны $SA$ в точке $K$ и основания $AB$ в его центре $O$.
По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны. Для точки $A$ это отрезки $AK$ и $AO$. Следовательно, $AK = AO$. Так как $AO$ — это радиус основания конуса $R$, то $AK = R = \sqrt{3}$ см.
Образующая $l$ (отрезок $SA$) состоит из двух частей: $SA = SK + AK$.
Отсюда можем найти длину отрезка $SK$:
$SK = SA - AK = l - R = 2 - \sqrt{3}$ см.
Радиус окружности касания $r_k$ — это расстояние от точки $K$ до оси конуса $SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $SK$ (как гипотенузой) и радиусом $r_k$ (как катетом). Угол при вершине конуса $S$ в этом треугольнике ($\angle KSO$) найдем из прямоугольного треугольника $SOA$:
$\angle ASO = 90° - \alpha = 90° - 30° = 60°$.
Теперь можем найти $r_k$:
$r_k = SK \cdot \sin(\angle ASO) = (2 - \sqrt{3}) \cdot \sin(60°) = (2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ см.

3. Найдем длину линии касания.
Длина линии касания $L$ — это длина окружности с радиусом $r_k$:
$L = 2 \pi r_k = 2 \pi \cdot \left(\frac{2\sqrt{3} - 3}{2}\right) = \pi(2\sqrt{3} - 3)$ см.

Ответ: $ \pi(2\sqrt{3} - 3) $ см.