Номер 230, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. В усечённом конусе угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60^\circ$, а разность радиусов оснований равна 6 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и радиусы оснований усечённого конуса.

230. В усечённом конусе угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60^\circ$, а разность радиусов оснований равна 6 см. В конус вписан шар. Найдите радиус шара и радиусы оснований усечённого конуса.

Обозначим радиус большего основания усеченного конуса как $R$, радиус меньшего основания как $r$, образующую как $l$ и высоту как $h$. Радиус вписанного шара обозначим как $r_{ш}$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция, в которую вписана окружность, являющаяся сечением шара. Основания трапеции равны $2R$ и $2r$, боковые стороны равны образующей $l$, а высота трапеции равна высоте конуса $h$.

Если провести высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее, образуется прямоугольный треугольник. Его гипотенузой будет образующая $l$, одним катетом — высота $h$, а другим катетом — разность радиусов $R-r$. Угол между образующей и плоскостью большего основания — это угол при большем основании трапеции, который по условию равен $60^\circ$.

Из условия задачи известно, что разность радиусов оснований равна 6 см, то есть $R - r = 6$ см.

Радиус шара
В прямоугольном треугольнике, описанном выше, найдем высоту конуса $h$, которая является катетом, противолежащим углу $60^\circ$:
$h = (R-r) \cdot \tan(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
Поскольку в конус вписан шар, его диаметр равен высоте конуса: $h = 2r_{ш}$.
Отсюда находим радиус вписанного шара:
$r_{ш} = \frac{h}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

Радиусы оснований усечённого конуса
Для того чтобы в усеченный конус можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы его образующая была равна сумме радиусов оснований: $l = R + r$.
Найдем длину образующей $l$ из того же прямоугольного треугольника, где она является гипотенузой:
$l = \frac{R-r}{\cos(60^\circ)} = \frac{6}{1/2} = 12$ см.
Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $R$ и $r$:
$ \begin{cases} R - r = 6 \\ R + r = 12 \end{cases} $
Сложив эти два уравнения, получим:
$2R = 18 \implies R = 9$ см.
Подставив найденное значение $R$ во второе уравнение, найдем $r$:
$9 + r = 12 \implies r = 3$ см.
Ответ: 9 см и 3 см.