Номер 236, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

236. Диагональное сечение правильной шестиугольной призмы, проходящее через большую диагональ основания, является квадратом, площадь которого равна $64 \text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

236. Диагональное сечение правильной шестиугольной призмы, проходящее через большую диагональ основания, является квадратом, площадь которого равна $64 \text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

Для нахождения объёма призмы используется формула $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём высоту призмы и большую диагональ основания.
По условию, диагональное сечение, проходящее через большую диагональ основания ($D$), является квадратом. Стороны этого квадрата — это большая диагональ основания $D$ и высота призмы $H$. Так как сечение является квадратом, то $D = H$.
Площадь этого квадрата равна $64$ см². Площадь квадрата со стороной $s$ вычисляется как $S = s^2$. В нашем случае $s = D = H$.
$s^2 = 64$ см²
$s = \sqrt{64} = 8$ см.
Следовательно, большая диагональ основания $D = 8$ см и высота призмы $H = 8$ см.

2. Найдём площадь основания призмы.
Основание призмы — правильный шестиугольник. Длина большей диагонали правильного шестиугольника ($D$) связана с длиной его стороны ($a$) формулой $D = 2a$.
Найдем сторону основания $a$:
$2a = 8$ см
$a = 4$ см.
Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
Подставим значение стороны $a = 4$ см:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 3\sqrt{3} \cdot 8 = 24\sqrt{3}$ см².

3. Найдём объём призмы.
Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объём:
$V = S_{осн} \cdot H = 24\sqrt{3} \cdot 8 = 192\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $192\sqrt{3}$ см³.