Номер 240, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

240. Основание прямой призмы — треугольник с углами $\alpha$ и $\beta$. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, к которой прилегают данные углы, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

240. Основание прямой призмы — треугольник с углами $\alpha$ и $\beta$. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, к которой прилегают данные углы, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение высоты призмы и стороны основания

Пусть в основании призмы лежит треугольник $ABC$, а сама призма — $ABCA_1B_1C_1$. По условию, в основании лежат углы $\alpha$ и $\beta$. Пусть это будут углы $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$. Тогда боковая грань, проходящая через сторону основания, к которой прилегают эти углы, — это грань $ABB_1A_1$.

Диагональ этой грани, например $A_1B$, имеет длину $d$. Угол наклона этой диагонали к плоскости основания — это угол между самой диагональю и её проекцией на эту плоскость. Так как призма прямая, её боковое ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, проекцией диагонали $A_1B$ на плоскость основания является сторона $AB$. Угол между диагональю $A_1B$ и её проекцией $AB$ равен $\gamma$, то есть $\angle A_1BA = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AB$ (прямой угол $\angle A_1AB$, так как призма прямая). В этом треугольнике:

• Гипотенуза $A_1B = d$.
• Катет $A_1A$ является высотой призмы $H$.
• Катет $AB$ является стороной основания. Обозначим её $c$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим:

Высота призмы: $H = A_1A = A_1B \cdot \sin(\angle A_1BA) = d \sin \gamma$.

Сторона основания: $c = AB = A_1B \cdot \cos(\angle A_1BA) = d \cos \gamma$.

2. Нахождение площади основания

Основанием является треугольник, у которого известна сторона $c = d \cos \gamma$ и два прилежащих к ней угла $\alpha$ и $\beta$. Третий угол этого треугольника равен $180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{c^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$.

Подставим известное значение стороны $c$:

$S_{осн} = \frac{(d \cos \gamma)^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:

$S_{осн} = \frac{d^2 \cos^2 \gamma \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

3. Нахождение объема призмы

Теперь, зная площадь основания и высоту, найдем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{d^2 \cos^2 \gamma \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}\right) \cdot (d \sin \gamma)$

$V = \frac{d^3 \sin \gamma \cos^2 \gamma \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $V = \frac{d^3 \sin \gamma \cos^2 \gamma \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$