Номер 245, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

245. Объем правильной треугольной призмы равен $V$. Найдите объем призмы, вершины которой — середины сторон оснований данной призмы.

245. Объём правильной треугольной призмы равен $V$. Найдите объём призмы, вершины которой — середины сторон оснований данной призмы.

Пусть данная правильная треугольная призма имеет высоту $h$ и сторону основания $a$. Основанием такой призмы является равносторонний треугольник.

Объём $V$ данной призмы вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot h$где $S_{осн}$ — площадь основания.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$Следовательно, объём исходной призмы можно выразить как:$V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h$

Новая призма, согласно условию, имеет в качестве вершин середины сторон оснований данной призмы. Это означает, что её основаниями являются треугольники, вершины которых — это середины сторон оснований исходной призмы. Высота новой призмы совпадает с высотой исходной призмы и равна $h$.

Рассмотрим основание новой призмы. Оно представляет собой треугольник, образованный соединением середин сторон исходного треугольника-основания. Стороны этого нового треугольника являются средними линиями исходного треугольника.

По свойству средней линии, она параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине. Таким образом, новый треугольник в основании подобен исходному с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Пусть $S'_{осн}$ — это площадь основания новой призмы. Тогда:$\frac{S'_{осн}}{S_{осн}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда, площадь основания новой призмы составляет четверть от площади основания исходной призмы:$S'_{осн} = \frac{1}{4}S_{осн}$

Теперь найдём объём новой призмы $V'$:$V' = S'_{осн} \cdot h = (\frac{1}{4}S_{осн}) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{осн} \cdot h)$

Так как объём исходной призмы $V = S_{осн} \cdot h$, то объём новой призмы равен:$V' = \frac{1}{4}V$

Ответ: $\frac{V}{4}$