Номер 252, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

252. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат со стороной 4 см. Две его противоположные боковые грани — также квадраты, а две другие — ромбы с острым углом 60°. Найдите объём параллелепипеда.

252. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат со стороной $4 \text{ см}$. Две его противоположные боковые грани — также квадраты, а две другие — ромбы с острым углом $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

Нахождение площади основания

Основанием параллелепипеда по условию является квадрат со стороной $a = 4$ см. Площадь основания $S_{осн}$ равна: $S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2$.

Нахождение высоты

Пусть данный параллелепипед — $ABCDA'B'C'D'$, где $ABCD$ — нижнее основание. По условию, две противоположные боковые грани, например $ABB'A'$, являются квадратами. Так как сторона основания $AB = 4$ см, то и боковое ребро $AA' = 4$ см. Это также означает, что боковое ребро $AA'$ перпендикулярно ребру основания $AB$, то есть угол $\angle A'AB = 90^\circ$. Две другие боковые грани, $ADD'A'$, являются ромбами с острым углом $60^\circ$. Это означает, что угол между боковым ребром $AA'$ и ребром основания $AD$ равен $60^\circ$, то есть $\angle A'AD = 60^\circ$.

Для нахождения высоты $H$ (длины перпендикуляра из $A'$ на плоскость $ABCD$) введём прямоугольную систему координат с началом в вершине $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oy$ вдоль ребра $AD$. Тогда плоскость основания $ABCD$ совпадает с плоскостью $Oxy$. Пусть вершина $A'$ имеет координаты $(x, y, z)$. Высота $H$ будет равна $z$.

Длина бокового ребра $AA'$ равна 4 см, следовательно, длина вектора $\vec{AA'}=(x,y,z)$ равна 4, что даёт уравнение: $x^2 + y^2 + z^2 = 4^2 = 16$.

Угол между ребром $AA'$ и ребром $AB$ равен $90^\circ$. Выразим это через скалярное произведение векторов $\vec{AA'}=(x,y,z)$ и $\vec{AB}=(4,0,0)$: $\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AB}| \cos(90^\circ) = 0$. С другой стороны, $\vec{AA'} \cdot \vec{AB} = x \cdot 4 + y \cdot 0 + z \cdot 0 = 4x$. Следовательно, $4x = 0$, откуда $x=0$.

Угол между ребром $AA'$ и ребром $AD$ равен $60^\circ$. Выразим это через скалярное произведение векторов $\vec{AA'}=(x,y,z)$ и $\vec{AD}=(0,4,0)$: $\vec{AA'} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA'}| \cdot |\vec{AD}| \cos(60^\circ) = 4 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 8$. С другой стороны, $\vec{AA'} \cdot \vec{AD} = x \cdot 0 + y \cdot 4 + z \cdot 0 = 4y$. Следовательно, $4y = 8$, откуда $y=2$.

Теперь подставим найденные значения $x=0$ и $y=2$ в уравнение длины ребра: $0^2 + 2^2 + z^2 = 16$ $4 + z^2 = 16$ $z^2 = 12$ $z = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Таким образом, высота параллелепипеда $H = z = 2\sqrt{3}$ см.

Вычисление объёма

Теперь, зная площадь основания и высоту, находим объём: $V = S_{осн} \cdot H = 16 \cdot 2\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $32\sqrt{3} \text{ см}^3$.