Номер 248, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

248. Основанием наклонной призмы является параллелограмм, стороны которого равны 4 см и 9 см, а острый угол — $30^\circ$. Боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ и равно 6 см. Найдите объём призмы.

248. Основанием наклонной призмы является параллелограмм, стороны которого равны 4 см и 9 см, а острый угол — $30^\circ$. Боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол $45^\circ$ и равно 6 см. Найдите объём призмы.

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания призмы.

Основанием призмы является параллелограмм со сторонами $a = 4$ см, $b = 9$ см и острым углом между ними $\alpha = 30^\circ$. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$
Подставим известные значения:
$S_{осн} = 4 \cdot 9 \cdot \sin(30^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$ см².

2. Найдем высоту призмы.

Высота призмы $H$ — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого. Высота, боковое ребро $L$ и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и плоскостью основания ($\beta = 45^\circ$) является одним из острых углов этого треугольника. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу, а боковое ребро $L$ — гипотенузой.
Таким образом, $H = L \cdot \sin(\beta)$.
По условию, длина бокового ребра $L = 6$ см, а угол $\beta = 45^\circ$.
Подставим эти значения:
$H = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

3. Найдем объем призмы.

Теперь мы можем вычислить объем призмы, используя найденные значения площади основания и высоты:
$V = S_{осн} \cdot H = 18 \cdot 3\sqrt{2} = 54\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $54\sqrt{2}$ см³.