Номер 246, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

246. Основание прямой призмы — ромб с острым углом $\alpha$. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите объём призмы, если её высота равна $H$.

246. Основание прямой призмы — ромб с острым углом $\alpha$. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите объём призмы, если её высота равна $H$.

Пусть основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$ с острым углом $\angle BAD = \alpha$. Высота призмы равна $H$, то есть $AA_1 = H$.

В ромбе меньшая диагональ лежит против острого угла. Следовательно, меньшая диагональ основания — это $BD$. Сечение проходит через диагональ $BD$ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания, например, $A_1$. Таким образом, сечение представляет собой равнобедренный треугольник $\triangle BDA_1$.

Угол между плоскостью сечения $(BDA_1)$ и плоскостью основания $(ABCD)$ равен $\gamma$. Найдем этот угол. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $AC$ и $BD$. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$, а значит, $AO \perp BD$.

Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания. Линия $AO$ является проекцией наклонной $A_1O$ на плоскость основания. Поскольку проекция $AO$ перпендикулярна прямой $BD$, лежащей в плоскости основания, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $A_1O$ перпендикулярна $BD$.

Таким образом, $\angle A_1OA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle A_1OA = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$. Катет $AA_1$ равен высоте призмы $H$. Используя определение котангенса, найдем длину катета $AO$:$$ \text{ctg}(\gamma) = \frac{AO}{AA_1} = \frac{AO}{H} $$Отсюда получаем, что $AO = H \cdot \text{ctg}(\gamma)$.

Так как $AO$ — это половина большей диагонали ромба $AC$, то $AC = 2 \cdot AO = 2H \cdot \text{ctg}(\gamma)$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$, который является частью основания. Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому $\angle OAB = \frac{\alpha}{2}$. Из этого треугольника найдем длину $BO$:$$ \text{tg}(\angle OAB) = \frac{BO}{AO} \implies \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{BO}{H \cdot \text{ctg}(\gamma)} $$Отсюда $BO = H \cdot \text{ctg}(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Так как $BO$ — это половина меньшей диагонали ромба $BD$, то $BD = 2 \cdot BO = 2H \cdot \text{ctg}(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Площадь основания призмы (площадь ромба) можно найти как половину произведения его диагоналей:$$ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot \left(2H \cdot \text{ctg}(\gamma)\right) \cdot \left(2H \cdot \text{ctg}(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = 2H^2 \cdot \text{ctg}^2(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:$$ V = S_{осн} \cdot H = \left(2H^2 \cdot \text{ctg}^2(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot H = 2H^3 \cdot \text{ctg}^2(\gamma) \cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$

Ответ: $V = 2H^3 \text{ctg}^2(\gamma) \text{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.