Номер 239, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Основанием прямой призмы является ромб со стороной a и острым углом $ \alpha $. Меньшая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом $ \beta $. Найдите объём призмы.

239. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания

Основанием призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Площадь ромба вычисляется по формуле произведения квадрата его стороны на синус угла между сторонами:

$S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$.

2. Нахождение высоты призмы

Поскольку призма прямая, ее высота $H$ равна боковому ребру. Угол наклона $\beta$ меньшей диагонали призмы к плоскости основания — это угол в прямоугольном треугольнике. Катетами этого треугольника являются высота призмы $H$ и проекция диагонали на основание, которая совпадает с меньшей диагональю ромба (обозначим ее $d_{м}$).

Из определения тангенса в этом прямоугольном треугольнике следует, что $\tan(\beta) = \frac{H}{d_{м}}$, откуда получаем выражение для высоты: $H = d_{м} \cdot \tan(\beta)$.

Чтобы найти $H$, сначала необходимо найти длину меньшей диагонали ромба $d_{м}$. Меньшая диагональ ромба лежит напротив его острого угла $\alpha$. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба ($a, a$) и диагональю $d_{м}$:

$d_{м}^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$.

Применим тригонометрическую формулу понижения степени $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:

$d_{м}^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

Извлекая квадратный корень, получаем: $d_{м} = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь подставим найденное значение $d_{м}$ в формулу для высоты призмы:

$H = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})\tan(\beta)$.

3. Нахождение объема призмы

Подставляем полученные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в исходную формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = (a^2 \sin(\alpha)) \cdot (2a\sin(\frac{\alpha}{2})\tan(\beta))$.

Выполняем умножение и получаем окончательный результат:

$V = 2a^3 \sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})\tan(\beta)$.

Ответ: $V = 2a^3 \sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})\tan(\beta)$.