Страница 29 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Площадь поверхности куба равна 96 $см^2$. Найдите его объём.

234. Площадь поверхности куба равна 96 $cm^2$. Найдите его объём.

Обозначим длину ребра куба через $a$.

Площадь полной поверхности куба ($S$) вычисляется как сумма площадей его шести граней. Каждая грань куба — это квадрат со стороной $a$. Площадь одной такой грани равна $a^2$. Следовательно, формула для площади полной поверхности куба выглядит так:

$S = 6a^2$

Из условия задачи мы знаем, что $S = 96$ см². Подставим это значение в формулу и найдем $a^2$:

$96 = 6a^2$

$a^2 = \frac{96}{6}$

$a^2 = 16$ см²

Теперь найдем длину ребра $a$, взяв квадратный корень из 16:

$a = \sqrt{16} = 4$ см

Объём куба ($V$) вычисляется по формуле:

$V = a^3$

Подставим найденное значение длины ребра $a = 4$ см в эту формулу:

$V = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ см³

Ответ: 64 см³

235. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 см и 8 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

235. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 см и 8 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а $h$ — высота.

По условию, стороны основания равны $a = 6$ см и $b = 8$ см. Для вычисления объёма необходимо найти высоту $h$.

1. Найдём диагональ основания.
Основание параллелепипеда — прямоугольник. Его диагональ ($d$) можно найти по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника со сторонами-катетами $a$ и $b$:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Найдём высоту параллелепипеда.
Диагональ параллелепипеда, его высота ($h$) и диагональ основания ($d$) образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и её проекцией на плоскость, то есть диагональю основания $d$. По условию этот угол равен $45^\circ$.
В этом прямоугольном треугольнике высота $h$ и диагональ основания $d$ являются катетами. Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то треугольник является равнобедренным, и его катеты равны:
$h = d = 10$ см.

3. Вычислим объём параллелепипеда.
Теперь, зная все три измерения, можем найти объём:
$V = a \cdot b \cdot h = 6 \cdot 8 \cdot 10 = 480$ см³.

Ответ: $480$ см³.

236. Диагональное сечение правильной шестиугольной призмы, проходящее через большую диагональ основания, является квадратом, площадь которого равна $64 \text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

236. Диагональное сечение правильной шестиугольной призмы, проходящее через большую диагональ основания, является квадратом, площадь которого равна $64 \text{ см}^2$. Найдите объём призмы.

Для нахождения объёма призмы используется формула $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём высоту призмы и большую диагональ основания.
По условию, диагональное сечение, проходящее через большую диагональ основания ($D$), является квадратом. Стороны этого квадрата — это большая диагональ основания $D$ и высота призмы $H$. Так как сечение является квадратом, то $D = H$.
Площадь этого квадрата равна $64$ см². Площадь квадрата со стороной $s$ вычисляется как $S = s^2$. В нашем случае $s = D = H$.
$s^2 = 64$ см²
$s = \sqrt{64} = 8$ см.
Следовательно, большая диагональ основания $D = 8$ см и высота призмы $H = 8$ см.

2. Найдём площадь основания призмы.
Основание призмы — правильный шестиугольник. Длина большей диагонали правильного шестиугольника ($D$) связана с длиной его стороны ($a$) формулой $D = 2a$.
Найдем сторону основания $a$:
$2a = 8$ см
$a = 4$ см.
Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
Подставим значение стороны $a = 4$ см:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 3\sqrt{3} \cdot 8 = 24\sqrt{3}$ см².

3. Найдём объём призмы.
Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объём:
$V = S_{осн} \cdot H = 24\sqrt{3} \cdot 8 = 192\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $192\sqrt{3}$ см³.

237. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 8 см. Диагональ параллелепипеда равна 16 см и образует с боковой гранью, содержащей эту сторону, угол 45°. Найдите объём параллелепипеда.

237. В прямоугольном параллелепипеде одна из сторон основания равна 8 см. Диагональ параллелепипеда равна 16 см и образует с боковой гранью, содержащей эту сторону, угол 45°. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Обозначим его измерения (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$.
Из условия задачи имеем:
Одна из сторон основания, пусть $a = AB = 8$ см.
Диагональ параллелепипеда, пусть $D = AC_1 = 16$ см.
Угол между диагональю $AC_1$ и боковой гранью, содержащей сторону $AB$ (то есть гранью $ABB_1A_1$), равен $45^\circ$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
Найдём проекцию диагонали $AC_1$ на плоскость грани $ABB_1A_1$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $C_1$ на эту плоскость. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$. Следовательно, точка $B_1$ является проекцией точки $C_1$ на плоскость $ABB_1A_1$.
Тогда отрезок $AB_1$ является проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость грани $ABB_1A_1$.
Угол между диагональю $AC_1$ и её проекцией $AB_1$ — это угол $\angle C_1AB_1$, и по условию он равен $45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AC_1B_1$. Так как $B_1C_1 \perp$ плоскости $(ABB_1)$, то $B_1C_1 \perp AB_1$. Следовательно, $\triangle AC_1B_1$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle AB_1C_1$.
В этом треугольнике:
- гипотенуза $AC_1 = D = 16$ см.
- острый угол $\angle C_1AB_1 = 45^\circ$.
- катет $B_1C_1$ равен другому ребру основания $b$ ($B_1C_1 = BC = b$).
- катет $AB_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$.

Найдём катеты $B_1C_1$ и $AB_1$ из прямоугольного треугольника $\triangle AC_1B_1$:
$b = B_1C_1 = AC_1 \cdot \sin(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.
$AB_1 = AC_1 \cdot \cos(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь найдём высоту параллелепипеда $c$. Рассмотрим прямоугольную боковую грань $ABB_1A_1$ и её диагональ $AB_1$. Треугольник $\triangle ABB_1$ — прямоугольный ($\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$
где $AB = a = 8$ см, $BB_1 = c$ (высота), и $AB_1 = 8\sqrt{2}$ см.
$(8\sqrt{2})^2 = 8^2 + c^2$
$128 = 64 + c^2$
$c^2 = 128 - 64 = 64$
$c = \sqrt{64} = 8$ см.

Мы нашли все три измерения параллелепипеда: $a = 8$ см, $b = 8\sqrt{2}$ см, $c = 8$ см.
Теперь можем найти объём параллелепипеда $V$:
$V = a \cdot b \cdot c = 8 \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 512\sqrt{2}$ см$^3$.
Ответ: $512\sqrt{2}$ см$^3$.

238. Основание прямой призмы — ромб с углом $30^\circ$. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём призмы, если её высота равна 9 см.

238. Основание прямой призмы — ромб с углом $30^\circ$. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём призмы, если её высота равна 9 см.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В основании призмы лежит ромб с углом $\alpha = 30^{\circ}$. Площадь ромба можно найти по формуле $S_{осн} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба.

Поскольку призма прямая, её боковые грани — прямоугольники, а боковые рёбра перпендикулярны основанию. Высота призмы $h$ равна длине бокового ребра. По условию $h = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю боковой грани, стороной основания (которая является проекцией этой диагонали на плоскость основания) и боковым ребром призмы (высотой). Угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания по условию равен $60^{\circ}$. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $60^{\circ}$, а сторона ромба $a$ — прилежащим катетом.

Используя тангенс этого угла, мы можем найти сторону ромба $a$:

$\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{a}$

Отсюда выражаем $a$:

$a = \frac{h}{\tan(60^{\circ})} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная сторону ромба, вычислим площадь основания:

$S_{осн} = a^2 \cdot \sin(30^{\circ}) = (3\sqrt{3})^2 \cdot \frac{1}{2} = (9 \cdot 3) \cdot \frac{1}{2} = 27 \cdot \frac{1}{2} = 13,5$ см².

Наконец, найдем объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 13,5 \cdot 9 = 121,5$ см³.

Ответ: $121,5$ см³.

239. Основанием прямой призмы является ромб со стороной a и острым углом $ \alpha $. Меньшая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом $ \beta $. Найдите объём призмы.

239. Основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Меньшая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания

Основанием призмы является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Площадь ромба вычисляется по формуле произведения квадрата его стороны на синус угла между сторонами:

$S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$.

2. Нахождение высоты призмы

Поскольку призма прямая, ее высота $H$ равна боковому ребру. Угол наклона $\beta$ меньшей диагонали призмы к плоскости основания — это угол в прямоугольном треугольнике. Катетами этого треугольника являются высота призмы $H$ и проекция диагонали на основание, которая совпадает с меньшей диагональю ромба (обозначим ее $d_{м}$).

Из определения тангенса в этом прямоугольном треугольнике следует, что $\tan(\beta) = \frac{H}{d_{м}}$, откуда получаем выражение для высоты: $H = d_{м} \cdot \tan(\beta)$.

Чтобы найти $H$, сначала необходимо найти длину меньшей диагонали ромба $d_{м}$. Меньшая диагональ ромба лежит напротив его острого угла $\alpha$. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба ($a, a$) и диагональю $d_{м}$:

$d_{м}^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha))$.

Применим тригонометрическую формулу понижения степени $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$:

$d_{м}^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4a^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$.

Извлекая квадратный корень, получаем: $d_{м} = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь подставим найденное значение $d_{м}$ в формулу для высоты призмы:

$H = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})\tan(\beta)$.

3. Нахождение объема призмы

Подставляем полученные выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в исходную формулу объема:

$V = S_{осн} \cdot H = (a^2 \sin(\alpha)) \cdot (2a\sin(\frac{\alpha}{2})\tan(\beta))$.

Выполняем умножение и получаем окончательный результат:

$V = 2a^3 \sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})\tan(\beta)$.

Ответ: $V = 2a^3 \sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})\tan(\beta)$.

240. Основание прямой призмы — треугольник с углами $\alpha$ и $\beta$. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, к которой прилегают данные углы, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

240. Основание прямой призмы — треугольник с углами $\alpha$ и $\beta$. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, к которой прилегают данные углы, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\gamma$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение высоты призмы и стороны основания

Пусть в основании призмы лежит треугольник $ABC$, а сама призма — $ABCA_1B_1C_1$. По условию, в основании лежат углы $\alpha$ и $\beta$. Пусть это будут углы $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$. Тогда боковая грань, проходящая через сторону основания, к которой прилегают эти углы, — это грань $ABB_1A_1$.

Диагональ этой грани, например $A_1B$, имеет длину $d$. Угол наклона этой диагонали к плоскости основания — это угол между самой диагональю и её проекцией на эту плоскость. Так как призма прямая, её боковое ребро $A_1A$ перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, проекцией диагонали $A_1B$ на плоскость основания является сторона $AB$. Угол между диагональю $A_1B$ и её проекцией $AB$ равен $\gamma$, то есть $\angle A_1BA = \gamma$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AB$ (прямой угол $\angle A_1AB$, так как призма прямая). В этом треугольнике:

• Гипотенуза $A_1B = d$.
• Катет $A_1A$ является высотой призмы $H$.
• Катет $AB$ является стороной основания. Обозначим её $c$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим:

Высота призмы: $H = A_1A = A_1B \cdot \sin(\angle A_1BA) = d \sin \gamma$.

Сторона основания: $c = AB = A_1B \cdot \cos(\angle A_1BA) = d \cos \gamma$.

2. Нахождение площади основания

Основанием является треугольник, у которого известна сторона $c = d \cos \gamma$ и два прилежащих к ней угла $\alpha$ и $\beta$. Третий угол этого треугольника равен $180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{c^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$.

Подставим известное значение стороны $c$:

$S_{осн} = \frac{(d \cos \gamma)^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:

$S_{осн} = \frac{d^2 \cos^2 \gamma \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

3. Нахождение объема призмы

Теперь, зная площадь основания и высоту, найдем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{d^2 \cos^2 \gamma \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}\right) \cdot (d \sin \gamma)$

$V = \frac{d^3 \sin \gamma \cos^2 \gamma \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $V = \frac{d^3 \sin \gamma \cos^2 \gamma \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

241. Большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

241. Большая диагональ правильной шестиугольной призмы равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Объём правильной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большой диагональю призмы ($d$), её проекцией на плоскость основания и высотой призмы ($H$). В этом треугольнике:

• гипотенуза — большая диагональ призмы $d$;
• катет, противолежащий углу $\alpha$ — высота призмы $H$;
• катет, прилежащий к углу $\alpha$ — проекция большой диагонали призмы на основание. Эта проекция является большой диагональю правильного шестиугольника в основании (обозначим её $D_{осн}$).

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим высоту призмы и большую диагональ основания:

$H = d \cdot \sin(\alpha)$

$D_{осн} = d \cdot \cos(\alpha)$

Основанием призмы является правильный шестиугольник. Большая диагональ правильного шестиугольника ($D_{осн}$) в два раза больше его стороны ($a$). Следовательно, $D_{осн} = 2a$.

Выразим сторону шестиугольника $a$ через $d$ и $\alpha$:

$2a = d \cdot \cos(\alpha) \Rightarrow a = \frac{d \cdot \cos(\alpha)}{2}$

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Подставим в эту формулу найденное выражение для $a$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{d \cdot \cos(\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d^2 \cos^2(\alpha)}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8} d^2 \cos^2(\alpha)$

Теперь, зная площадь основания $S_{осн}$ и высоту $H$, мы можем найти объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{3\sqrt{3}}{8} d^2 \cos^2(\alpha)\right) \cdot (d \sin(\alpha)) = \frac{3\sqrt{3}}{8} d^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{8}d^3\sin(\alpha)\cos^2(\alpha)$

242. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом 6 см и углом $45^\circ$. Объём призмы равен $108 \text{ см}^3$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

242. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом 6 см и углом $45^\circ$. Объём призмы равен $108 \text{ см}^3$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник. Пусть его катеты равны $a$ и $b$. По условию, один катет равен 6 см, а один из острых углов — 45°.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а один из углов прямой (90°), то второй острый угол также равен $180° - 90° - 45° = 45°$. Треугольник, у которого углы при основании равны, является равнобедренным. Следовательно, катеты этого треугольника равны: $a = b = 6$ см.

Площадь основания призмы ($S_{осн}$) равна площади этого прямоугольного треугольника:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см².

Объем призмы ($V$) вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $H$ — высота призмы. По условию, $V = 108$ см³. Выразим и найдем высоту призмы:$H = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{108}{18} = 6$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Для нахождения периметра нам необходимо знать длину всех сторон основания. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим периметр основания:$P_{осн} = a + b + c = 6 + 6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2}$ см.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности призмы:$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (12 + 6\sqrt{2}) \cdot 6 = 12 \cdot 6 + 6\sqrt{2} \cdot 6 = 72 + 36\sqrt{2}$ см².

Ответ: $72 + 36\sqrt{2}$ см².

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Основания этой трапеции равны 4 см и 16 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём призмы.

243. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Основания этой трапеции равны 4 см и 16 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Найдем площадь основания призмы.

Основанием является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Пусть основания трапеции равны $a = 16$ см и $b = 4$ см, а боковая сторона — $c$. Согласно свойству описанного четырехугольника, сумма длин противоположных сторон равна. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна удвоенной боковой стороне:

$a + b = 2c$

$16 + 4 = 2c \Rightarrow 20 = 2c \Rightarrow c = 10$ см.

Чтобы найти высоту трапеции $h$, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. Образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой $c = 10$ см и катетом, равным полуразности оснований: $\frac{a-b}{2} = \frac{16-4}{2} = 6$ см. По теореме Пифагора:

$h = \sqrt{c^2 - (\frac{a-b}{2})^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции (основания призмы):

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{16+4}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$ см².

Найдем высоту призмы.

Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Эта диагональ, высота призмы $H$ и диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. В нем высота призмы является катетом, противолежащим углу $60^\circ$, а диагональ основания — прилежащим катетом. Следовательно, $H = d \cdot \tan(60^\circ)$.

Сначала найдем диагональ основания $d$. Ее можно найти из другого прямоугольного треугольника в плоскости основания, катетами которого являются высота трапеции $h$ и отрезок на большем основании, равный $a - \frac{a-b}{2} = 16 - 6 = 10$ см.

По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + 10^2 = 8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164$.

$d = \sqrt{164} = \sqrt{4 \cdot 41} = 2\sqrt{41}$ см.

Теперь находим высоту призмы $H$:

$H = d \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{41} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{123}$ см.

Найдем объем призмы.

Зная площадь основания и высоту призмы, вычисляем объем:

$V = S_{осн} \cdot H = 80 \cdot 2\sqrt{123} = 160\sqrt{123}$ см³.

Ответ: $160\sqrt{123}$ см³.