Страница 36 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а прилежащий к нему угол — $45^\circ$. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а прилежащий к нему угол — $45^\circ$. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. По условию, один из катетов равен 8 см, пусть $a = 8$ см. Прилежащий к нему острый угол равен $45°$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. Если один острый угол равен $45°$, то второй острый угол также равен $90° - 45° = 45°$.

Поскольку оба острых угла треугольника равны $45°$, этот треугольник является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны между собой. Следовательно, второй катет $b$ также равен 8 см.

Тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей один из его катетов, представляет собой конус. В данном случае вращение происходит вокруг катета длиной 8 см.

Таким образом, мы получаем конус, у которого:
- высота $h$ равна длине катета, вокруг которого происходит вращение, то есть $h = 8$ см.
- радиус основания $r$ равен длине второго катета, то есть $r = 8$ см.

Объем конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим значения $r = 8$ см и $h = 8$ см в формулу: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 8 = \frac{512\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{512\pi}{3}$ см$^3$.

300. Осевое сечение конуса — правильный треугольник, площадь которого равна $4\sqrt{3}$ см$^2$. Найдите объём конуса.

300. Осевое сечение конуса — правильный треугольник, площадь которого равна $4\sqrt{3} \text{ см}^2$. Найдите объём конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, который по условию является правильным (равносторонним). Пусть сторона этого треугольника равна $a$.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

По условию задачи, площадь сечения $S = 4\sqrt{3}$ см². Приравняем это значение к формуле площади и найдем сторону треугольника $a$:

$4\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Сократим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$4 = \frac{a^2}{4}$

Отсюда $a^2 = 16$, следовательно, $a = 4$ см.

Теперь определим параметры конуса. Сторона основания осевого сечения является диаметром основания конуса $d$. Таким образом, $d = a = 4$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Высота конуса $h$ совпадает с высотой равностороннего треугольника. Высоту равностороннего треугольника можно найти по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставив значение $a = 4$ см, получим:

$h = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Подставим найденные значения радиуса $r$ и высоты $h$:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot (2)^2 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{8\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{8\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

301. Объём конуса равен 80 $\text{см}^3$. Найдите объём конуса, радиус основания которого в 4 раза меньше радиуса основания, а высота — в 3 раза больше высоты данного конуса.

301. Объём конуса равен 80 см³. Найдите объём конуса, радиус основания которого в 4 раза меньше радиуса основания, а высота — в 3 раза больше высоты данного конуса.

Обозначим объём, радиус основания и высоту исходного конуса как $V_1$, $R_1$ и $H_1$ соответственно. Формула для вычисления объёма конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

По условию задачи, объём исходного конуса равен 80 см³, то есть:

$V_1 = \frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1 = 80$ см³.

Пусть $V_2$, $R_2$ и $H_2$ — это объём, радиус основания и высота нового конуса.

Согласно условию, радиус основания нового конуса в 4 раза меньше радиуса основания исходного конуса, а его высота в 3 раза больше высоты исходного конуса. Запишем эти соотношения математически:

$R_2 = \frac{R_1}{4}$

$H_2 = 3H_1$

Теперь вычислим объём нового конуса $V_2$, подставив в формулу объёма его радиус $R_2$ и высоту $H_2$:

$V_2 = \frac{1}{3}\pi R_2^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{R_1}{4}\right)^2 (3H_1)$

Упростим полученное выражение:

$V_2 = \frac{1}{3}\pi \frac{R_1^2}{16} \cdot 3H_1 = \frac{3}{16} \cdot \left(\frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1\right)$

Заметим, что выражение в скобках является объёмом исходного конуса $V_1$. Таким образом, мы можем записать:

$V_2 = \frac{3}{16} V_1$

Подставим известное значение $V_1 = 80$ см³:

$V_2 = \frac{3}{16} \cdot 80 = 3 \cdot \frac{80}{16} = 3 \cdot 5 = 15$ см³.

Ответ: 15 см³.

302. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ его высоты (рис. 9). Объем жидкости равен 30 мл. Сколько миллилитров жидкости надо долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Рис. 9

302. В сосуде, имеющем форму кону-са, уровень жидкости достигает$ \frac{1}{2} $ его высоты (рис. 9). Объёмжидкости равен 30 мл. Сколькомиллилитров жидкости надо до-лить, чтобы полностью напол-нить сосуд?

Рис. 9

Пусть $V_{полный}$ и $H$ — это объём и высота всего конического сосуда, а $V_{жидкости}$ и $h$ — объём и высота налитой в него жидкости.

По условию задачи, уровень жидкости составляет половину высоты сосуда, то есть $h = \frac{1}{2}H$. Объём этой жидкости равен $V_{жидкости} = 30$ мл.

Жидкость в сосуде образует меньший конус, который подобен большому конусу (всему сосуду). Коэффициент подобия $k$ для этих конусов равен отношению их высот: $k = \frac{h}{H} = \frac{\frac{1}{2}H}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение объёмов подобных фигур равно кубу коэффициента их подобия. Следовательно: $\frac{V_{жидкости}}{V_{полный}} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Используя это соотношение, можно найти полный объём сосуда: $V_{полный} = 8 \cdot V_{жидкости} = 8 \cdot 30 \text{ мл} = 240 \text{ мл}$.

Чтобы найти, сколько жидкости нужно долить для полного наполнения сосуда, вычтем из полного объёма объём уже имеющейся жидкости: $V_{долить} = V_{полный} - V_{жидкости} = 240 \text{ мл} - 30 \text{ мл} = 210 \text{ мл}$.

Ответ: 210 мл.

303. В основании конуса проведена хорда, равная радиусу основания и удалённая от центра основания конуса на 12 см. Через вершину конуса и эту хорду проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём конуса.

303. В основании конуса проведена хорда, равная радиусу основания и удалённая от центра основания конуса на 12 см. Через вершину конуса и эту хорду проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём конуса.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Центр основания обозначим как $O$, а вершину конуса — как $S$. В основании проведена хорда $AB$. По условию, длина хорды равна радиусу основания, то есть $AB = R$. Расстояние от центра основания $O$ до хорды $AB$ равно 12 см. Это расстояние является длиной перпендикуляра $OM$, опущенного из центра $O$ на хорду $AB$. Таким образом, $OM = 12$ см и $OM \perp AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAM$ в плоскости основания. Так как $OM \perp AB$, этот треугольник является прямоугольным. Катет $OM = 12$ см. Гипотенуза $OA$ является радиусом основания, $OA = R$. Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит ее пополам, поэтому катет $AM = \frac{AB}{2} = \frac{R}{2}$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle OAM$:$
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$R^2 = 12^2 + (\frac{R}{2})^2$
$R^2 = 144 + \frac{R^2}{4}$
$R^2 - \frac{R^2}{4} = 144$
$\frac{3R^2}{4} = 144$
$R^2 = \frac{144 \cdot 4}{3} = 48 \cdot 4 = 192$
Таким образом, радиус основания $R = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Через вершину конуса $S$ и хорду $AB$ проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол 60°. Сечением конуса этой плоскостью является равнобедренный треугольник $\triangle SAB$ (так как $SA=SB$ — образующие конуса). Угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания — это двугранный угол, который измеряется линейным углом.

Линейный угол двугранного угла строится с помощью перпендикуляров, проведенных к линии пересечения плоскостей (хорде $AB$) в одной точке. В плоскости основания у нас есть $OM \perp AB$. В плоскости сечения высота (а также медиана) $SM$ треугольника $\triangle SAB$ перпендикулярна основанию $AB$, то есть $SM \perp AB$. Следовательно, линейным углом является угол $\angle SMO$, и по условию $\angle SMO = 60°$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. Он прямоугольный, так как высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, включая $OM$. То есть $\angle SOM = 90°$. В этом треугольнике нам известен катет $OM = 12$ см и угол $\angle SMO = 60°$. Найдем второй катет $SO$, который является высотой конуса $H$.

Используя определение тангенса в прямоугольном треугольнике, получаем:
$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$
$H = SO = OM \cdot \tan(60°) = 12 \cdot \sqrt{3}$.
Таким образом, высота конуса равна $12\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти объем конуса по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Мы уже нашли, что $R^2 = 192$ и $H = 12\sqrt{3}$ см. Подставим эти значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 192 \cdot 12\sqrt{3}$
$V = \pi \cdot 64 \cdot 12\sqrt{3}$
$V = 768\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $768\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

304. Образующая конуса равна $a$. Из центра основания конуса к образующей проведён перпендикуляр, который образует с высотой конуса угол $\alpha$. Найдите объём конуса.

304. Образующая конуса равна $a$. Из центра основания конуса к образующей проведён перпендикуляр, который образует с высотой конуса угол $\alpha$. Найдите объём конуса.

Обозначим конус. Пусть $S$ – его вершина, $O$ – центр основания, $SO$ – высота конуса (обозначим её $h$), $R$ – радиус основания ($OA$, где $A$ – точка на окружности основания), $a$ – образующая ($SA$). Рассмотрим осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник $SOA$, где $\angle SOA = 90^\circ$. По условию, $SA = a$.

Из центра основания $O$ проведём перпендикуляр $OK$ к образующей $SA$. По построению, $OK \perp SA$, следовательно, треугольник $SOK$ является прямоугольным ($\angle SKO = 90^\circ$).

По условию задачи, угол между перпендикуляром $OK$ и высотой $SO$ равен $\alpha$, то есть $\angle SOK = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$. Отсюда можем найти угол $\angle OSK$:$\angle OSK = 90^\circ - \angle SOK = 90^\circ - \alpha$.

Угол $\angle OSK$ является тем же углом, что и угол $\angle OSA$ в треугольнике $SOA$. Теперь, зная гипотенузу $SA=a$ и один из острых углов $\angle OSA = 90^\circ - \alpha$ в прямоугольном треугольнике $SOA$, мы можем найти его катеты – высоту $h$ и радиус $R$.

Высота конуса $h$:$h = SO = SA \cdot \cos(\angle OSA) = a \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = a \sin(\alpha)$.

Радиус основания $R$:$R = OA = SA \cdot \sin(\angle OSA) = a \cdot \sin(90^\circ - \alpha) = a \cos(\alpha)$.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$. Подставим в неё найденные выражения для $R$ и $h$:$V = \frac{1}{3}\pi (a \cos(\alpha))^2 (a \sin(\alpha)) = \frac{1}{3}\pi (a^2 \cos^2(\alpha)) (a \sin(\alpha)) = \frac{1}{3}\pi a^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.
Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi a^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.

305. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите объём тела вращения.

305. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите объём тела вращения.

Пусть стороны треугольника равны $a = 13$ см, $b = 20$ см и $c = 21$ см. Наибольшая сторона — $c = 21$ см. Вращение треугольника происходит вокруг этой стороны.

Тело, полученное в результате вращения, состоит из двух конусов, имеющих общее основание. Радиус этого основания $R$ равен высоте треугольника $h_c$, проведенной к наибольшей стороне. Сумма высот этих двух конусов равна длине стороны вращения, то есть $c = 21$ см.

Для нахождения высоты $h_c$ (и, соответственно, радиуса $R$) сначала найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр:$p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:$S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

Площадь треугольника также можно выразить через высоту и основание: $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$. Отсюда найдем высоту $h_c$, которая является радиусом $R$ основания конусов.

$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot R$

$R = \frac{126 \cdot 2}{21} = \frac{252}{21} = 12$ см.

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов $V_1$ и $V_2$:$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2$, где $h_1$ и $h_2$ — высоты конусов.

Можно вынести общий множитель:$V = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2)$.

Так как сумма высот конусов $h_1 + h_2$ равна длине стороны вращения $c$, то $h_1 + h_2 = 21$ см.

Подставим известные значения и вычислим объем:$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 21 = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 21 = \pi \cdot 144 \cdot \frac{21}{3} = \pi \cdot 144 \cdot 7 = 1008\pi$ см$^3$.

Ответ: $1008\pi$ см$^3$.

306. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 6 см, её высота — $2\sqrt{5}$ см, а косинус острого угла трапеции равен $\frac{2}{3}$. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём тела вращения.

306. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 6 см, её высота — $2\sqrt{5}$ см, а косинус острого угла трапеции равен $\frac{2}{3}$. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём тела вращения.

При вращении прямоугольной трапеции вокруг прямой, содержащей её большее основание, образуется тело вращения. Это тело состоит из цилиндра и конуса, стоящих на общем основании.

Объём всего тела вращения $V$ будет равен сумме объёма цилиндра $V_{цил}$ и объёма конуса $V_{кон}$:$V = V_{цил} + V_{кон}$

1. Вычисление объёма цилиндра.

Цилиндр образуется вращением прямоугольника, сторонами которого являются высота трапеции и её меньшее основание.

Радиус основания цилиндра $R$ равен высоте трапеции $h$:$R = h = 2\sqrt{5}$ см.

Высота цилиндра $H_{цил}$ равна меньшему основанию трапеции $b$:$H_{цил} = b = 6$ см.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi R^2 H_{цил}$:$V_{цил} = \pi (2\sqrt{5})^2 \cdot 6 = \pi \cdot (4 \cdot 5) \cdot 6 = \pi \cdot 20 \cdot 6 = 120\pi$ см$^3$.

2. Вычисление объёма конуса.

Конус образуется вращением прямоугольного треугольника, одним катетом которого является высота трапеции, а другим — разность длин оснований.

Радиус основания конуса $R$ также равен высоте трапеции:$R = h = 2\sqrt{5}$ см.

Высоту конуса $H_{кон}$ найдём из этого прямоугольного треугольника. Пусть острый угол трапеции равен $\alpha$. По условию $\cos \alpha = \frac{2}{3}$.В прямоугольном треугольнике, образующем конус, катет, противолежащий углу $\alpha$, — это высота трапеции $h$, а прилежащий катет — это высота конуса $H_{кон}$.

Найдём тангенс угла $\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.Поскольку $\alpha$ — острый угол, $\sin \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Тогда $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем $\tan \alpha = \frac{h}{H_{кон}}$. Отсюда:$H_{кон} = \frac{h}{\tan \alpha} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}/2} = 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 4$ см.

Объём конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 H_{кон}$:$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{5})^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 20 \cdot 4 = \frac{80\pi}{3}$ см$^3$.

3. Вычисление общего объёма тела вращения.

$V = V_{цил} + V_{кон} = 120\pi + \frac{80\pi}{3} = \frac{3 \cdot 120\pi}{3} + \frac{80\pi}{3} = \frac{360\pi + 80\pi}{3} = \frac{440\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{440\pi}{3}$ см$^3$.