Номер 306, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

306. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 6 см, её высота — $2\sqrt{5}$ см, а косинус острого угла трапеции равен $\frac{2}{3}$. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём тела вращения.

306. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 6 см, её высота — $2\sqrt{5}$ см, а косинус острого угла трапеции равен $\frac{2}{3}$. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём тела вращения.

При вращении прямоугольной трапеции вокруг прямой, содержащей её большее основание, образуется тело вращения. Это тело состоит из цилиндра и конуса, стоящих на общем основании.

Объём всего тела вращения $V$ будет равен сумме объёма цилиндра $V_{цил}$ и объёма конуса $V_{кон}$:$V = V_{цил} + V_{кон}$

1. Вычисление объёма цилиндра.

Цилиндр образуется вращением прямоугольника, сторонами которого являются высота трапеции и её меньшее основание.

Радиус основания цилиндра $R$ равен высоте трапеции $h$:$R = h = 2\sqrt{5}$ см.

Высота цилиндра $H_{цил}$ равна меньшему основанию трапеции $b$:$H_{цил} = b = 6$ см.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi R^2 H_{цил}$:$V_{цил} = \pi (2\sqrt{5})^2 \cdot 6 = \pi \cdot (4 \cdot 5) \cdot 6 = \pi \cdot 20 \cdot 6 = 120\pi$ см$^3$.

2. Вычисление объёма конуса.

Конус образуется вращением прямоугольного треугольника, одним катетом которого является высота трапеции, а другим — разность длин оснований.

Радиус основания конуса $R$ также равен высоте трапеции:$R = h = 2\sqrt{5}$ см.

Высоту конуса $H_{кон}$ найдём из этого прямоугольного треугольника. Пусть острый угол трапеции равен $\alpha$. По условию $\cos \alpha = \frac{2}{3}$.В прямоугольном треугольнике, образующем конус, катет, противолежащий углу $\alpha$, — это высота трапеции $h$, а прилежащий катет — это высота конуса $H_{кон}$.

Найдём тангенс угла $\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.Поскольку $\alpha$ — острый угол, $\sin \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Тогда $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем $\tan \alpha = \frac{h}{H_{кон}}$. Отсюда:$H_{кон} = \frac{h}{\tan \alpha} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}/2} = 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 4$ см.

Объём конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 H_{кон}$:$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{5})^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 20 \cdot 4 = \frac{80\pi}{3}$ см$^3$.

3. Вычисление общего объёма тела вращения.

$V = V_{цил} + V_{кон} = 120\pi + \frac{80\pi}{3} = \frac{3 \cdot 120\pi}{3} + \frac{80\pi}{3} = \frac{360\pi + 80\pi}{3} = \frac{440\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{440\pi}{3}$ см$^3$.