Номер 307, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

307. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

307. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

Поскольку конус описан около правильной треугольной пирамиды, его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса – это окружность, описанная около основания пирамиды (правильного треугольника). Таким образом, высота конуса $H$ равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника в основании пирамиды.

1. Нахождение радиуса основания конуса R.

В основании пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 6$ см. Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника, вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 6$ см:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение высоты конуса H.

Высота пирамиды $H$, её боковое ребро $l$ и радиус описанной около основания окружности $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой, а высота и радиус – катетами. По условию, боковое ребро $l = 4$ см.

Применим теорему Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.

Выразим высоту $H$:

$H^2 = l^2 - R^2$

$H^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - (4 \cdot 3) = 16 - 12 = 4$

$H = \sqrt{4} = 2$ см.

3. Вычисление объёма конуса V.

Теперь, зная радиус $R = 2\sqrt{3}$ см и высоту $H = 2$ см, найдём объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 12 \cdot 2 = 4 \pi \cdot 2 = 8\pi$ см$^3$.

Ответ: $8\pi$ см$^3$.