Номер 309, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, площадь которой равна $32\sqrt{3}$ см$^2$, а острый угол — $60^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, площадь которой равна $32\sqrt{3}$ $см^2$, а острый угол — $60^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Объём конуса, вписанного в пирамиду, вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Основанием вписанного конуса является круг, вписанный в основание пирамиды (равнобокую трапецию), а высота конуса совпадает с высотой пирамиды.

Поскольку все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны (45°), вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Это означает, что в основание пирамиды, равнобокую трапецию, можно вписать окружность. Радиус этой окружности, $R$, и будет радиусом основания конуса.

Рассмотрим основание пирамиды — равнобокую трапецию. Обозначим её высоту как $h_{тр}$. Радиус вписанной окружности связан с высотой трапеции соотношением $R = \frac{h_{тр}}{2}$.В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона — $c$. Тогда $a+b=2c$.Площадь трапеции $S_{тр}$ вычисляется по формуле $S_{тр} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр}$. Подставив $a+b=2c$, получим $S_{тр} = \frac{2c}{2} \cdot h_{тр} = c \cdot h_{тр}$.

В равнобокой трапеции высота $h_{тр}$, боковая сторона $c$ и острый угол $\alpha$ связаны соотношением $h_{тр} = c \cdot \sin \alpha$.По условию, $\alpha = 60°$ и $S_{тр} = 32\sqrt{3}$ см².Подставим выражение для $h_{тр}$ в формулу площади: $S_{тр} = c \cdot (c \cdot \sin \alpha) = c^2 \sin \alpha$.$32\sqrt{3} = c^2 \sin 60° = c^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.Отсюда находим $c^2$: $c^2 = \frac{32\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 64$.Значит, боковая сторона $c = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдём высоту трапеции: $h_{тр} = c \cdot \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.Радиус основания конуса $R$ равен половине высоты трапеции:$R = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Найдём её. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $R$ и апофемой (высотой боковой грани). В этом треугольнике катет $H$ противолежит углу, равному двугранному углу при ребре основания, а катет $R$ является прилежащим.Таким образом, $\tan(45°) = \frac{H}{R}$.Поскольку $\tan(45°) = 1$, получаем $H = R$.Следовательно, высота конуса $H = 2\sqrt{3}$ см.

Наконец, вычислим объём конуса:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{3})^2 (2\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (4 \cdot 3) (2\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi \cdot 2\sqrt{3} = 8\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $8\pi\sqrt{3}$ см³.