Номер 315, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делятся точкой пересечения на отрезки длиной 5,1 см и 11,9 см, а его высота равна 8 см. Найдите объём усечённого конуса.

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делятся точкой пересечения на отрезки длиной 5,1 см и 11,9 см, а его высота равна 8 см. Найдите объём усечённого конуса.

Осевым сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция. Пусть радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$ соответственно, а высота равна $H$. Тогда основаниями трапеции являются отрезки длиной $2R$ и $2r$, а её высота равна $H$. По условию задачи, высота $H = 8$ см.

Диагонали осевого сечения (трапеции) делятся точкой пересечения на отрезки длиной $5,1$ см и $11,9$ см. Следовательно, полная длина каждой диагонали равна $d = 5,1 + 11,9 = 17$ см.

Рассмотрим треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей. Эти треугольники подобны, так как основания трапеции параллельны. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих отрезков диагоналей:

$k = \frac{11,9}{5,1} = \frac{119}{51} = \frac{7 \cdot 17}{3 \cdot 17} = \frac{7}{3}$

Отношение оснований трапеции, а значит и радиусов оснований конуса, также равно коэффициенту подобия:

$\frac{2R}{2r} = \frac{R}{r} = k = \frac{7}{3}$, откуда получаем первое уравнение: $R = \frac{7}{3}r$.

Для нахождения самих радиусов воспользуемся свойством трапеции. Пусть наше осевое сечение — это трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=2R$ и $BC=2r$. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $K$. В результате получим треугольник $ACK$.

Рассмотрим свойства этого треугольника:

• Сторона $AC$ является диагональю трапеции, $AC = d = 17$ см.
• Так как $BCKD$ — параллелограмм (по построению $CK \parallel BD$ и $BC \parallel DK$), то сторона $CK = BD = d = 17$ см.
• Основание $AK = AD + DK = AD + BC = 2R + 2r = 2(R+r)$.
• Высота треугольника $ACK$, проведённая из вершины $C$ к основанию $AK$, равна высоте трапеции $H = 8$ см.

Поскольку $AC = CK = 17$ см, треугольник $ACK$ является равнобедренным. Его высота $CH$ (где $H$ на прямой $AK$) является также и медианой, а значит, делит основание $AK$ пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. По теореме Пифагора $AC^2 = AH^2 + CH^2$.

Длина катета $AH$ равна половине основания $AK$: $AH = \frac{1}{2}AK = \frac{1}{2} \cdot 2(R+r) = R+r$.

Подставим известные значения в теорему Пифагора:

$17^2 = (R+r)^2 + 8^2$

$289 = (R+r)^2 + 64$

$(R+r)^2 = 289 - 64 = 225$

$R+r = \sqrt{225} = 15$ см. Это второе уравнение.

Теперь решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} R = \frac{7}{3}r \\ R+r = 15 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$\frac{7}{3}r + r = 15$

$\frac{10}{3}r = 15$

$r = \frac{15 \cdot 3}{10} = \frac{45}{10} = 4,5$ см.

Теперь найдём $R$:

$R = 15 - r = 15 - 4,5 = 10,5$ см.

Мы нашли все необходимые параметры для вычисления объёма усечённого конуса. Формула для объёма:

$V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения $H=8$, $R=10,5$, $r=4,5$:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot ((10,5)^2 + 10,5 \cdot 4,5 + (4,5)^2)$

$V = \frac{8\pi}{3} \cdot (110,25 + 47,25 + 20,25)$

$V = \frac{8\pi}{3} \cdot 177,75$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $177,75 = 177\frac{3}{4} = \frac{708+3}{4} = \frac{711}{4}$.

$V = \frac{8\pi}{3} \cdot \frac{711}{4} = \frac{8 \cdot 711}{3 \cdot 4}\pi = (2 \cdot 237)\pi = 474\pi$ см$^3$.

Ответ: $474\pi$ см$^3$.