Номер 314, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

314. В усечённом конусе отношение радиусов оснований равно $2$, а образующая длиной $8$ см наклонена к плоскости большего основания под углом $60^{\circ}$. Найдите объём усечённого конуса.

314. В усечённом конусе отношение радиусов оснований равно 2, а образующая длиной 8 см наклонена к плоскости большего основания под углом $60^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

Обозначим радиус большего основания усечённого конуса как $R$, радиус меньшего основания как $r$, образующую как $l$ и высоту как $h$.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:
1. Отношение радиусов оснований: $\frac{R}{r} = 2$.
2. Длина образующей: $l = 8$ см.
3. Угол наклона образующей к плоскости большего основания: $\alpha = 60^\circ$.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Для вычисления объёма необходимо найти значения $h$, $R$ и $r$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобедренной трапецией. Проведём высоту из вершины меньшего основания на большее. В результате образуется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это образующая $l$, один катет — это высота конуса $h$, а второй катет — это разность радиусов оснований $R - r$. Угол между гипотенузой (образующей) и катетом ($R - r$) равен $60^\circ$.

Используя тригонометрические соотношения в этом прямоугольном треугольнике, найдём $h$ и $R - r$:
$h = l \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
$R - r = l \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $R$ и $r$:
$\begin{cases} \frac{R}{r} = 2 \\ R - r = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $R$: $R = 2r$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2r - r = 4$
$r = 4$ см.

Теперь найдём радиус большего основания:
$R = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Мы нашли все необходимые параметры: $h = 4\sqrt{3}$ см, $R = 8$ см, $r = 4$ см. Подставим их в формулу для объёма:
$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot (8^2 + 8 \cdot 4 + 4^2)$
$V = \frac{4\pi\sqrt{3}}{3} (64 + 32 + 16)$
$V = \frac{4\pi\sqrt{3}}{3} \cdot 112$
$V = \frac{448\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{448\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.