Страница 37 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

307. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

307. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

Поскольку конус описан около правильной треугольной пирамиды, его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса – это окружность, описанная около основания пирамиды (правильного треугольника). Таким образом, высота конуса $H$ равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника в основании пирамиды.

1. Нахождение радиуса основания конуса R.

В основании пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 6$ см. Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника, вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 6$ см:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение высоты конуса H.

Высота пирамиды $H$, её боковое ребро $l$ и радиус описанной около основания окружности $R$ образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой, а высота и радиус – катетами. По условию, боковое ребро $l = 4$ см.

Применим теорему Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.

Выразим высоту $H$:

$H^2 = l^2 - R^2$

$H^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - (4 \cdot 3) = 16 - 12 = 4$

$H = \sqrt{4} = 2$ см.

3. Вычисление объёма конуса V.

Теперь, зная радиус $R = 2\sqrt{3}$ см и высоту $H = 2$ см, найдём объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 12 \cdot 2 = 4 \pi \cdot 2 = 8\pi$ см$^3$.

Ответ: $8\pi$ см$^3$.

308. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Каждое её боковое ребро равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

308. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Каждое её боковое ребро равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды.

Поскольку конус описан около пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды (прямоугольный треугольник) вписано в основание конуса (окружность).

Из условия известно, что все боковые рёбра пирамиды равны $b$ и образуют с плоскостью основания один и тот же угол $\beta$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Радиус этой окружности является радиусом основания конуса ($R$), а высота пирамиды — высотой конуса ($H$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и боковым ребром пирамиды $b$, которое в данном случае является образующей конуса. В этом треугольнике:

• гипотенуза равна боковому ребру $b$;
• катет $H$ противолежит углу $\beta$;
• катет $R$ прилежит к углу $\beta$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике находим:

Высота конуса: $H = b \cdot \sin(\beta)$

Радиус основания конуса: $R = b \cdot \cos(\beta)$

Теперь мы можем найти объём конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Подставим найденные выражения для $H$ и $R$:

$V = \frac{1}{3}\pi (b \cdot \cos(\beta))^2 (b \cdot \sin(\beta))$

$V = \frac{1}{3}\pi (b^2 \cos^2(\beta)) (b \sin(\beta))$

$V = \frac{1}{3}\pi b^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta)$

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi b^3 \sin(\beta) \cos^2(\beta)$

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, площадь которой равна $32\sqrt{3}$ см$^2$, а острый угол — $60^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

309. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, площадь которой равна $32\sqrt{3}$ $см^2$, а острый угол — $60^\circ$. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Объём конуса, вписанного в пирамиду, вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Основанием вписанного конуса является круг, вписанный в основание пирамиды (равнобокую трапецию), а высота конуса совпадает с высотой пирамиды.

Поскольку все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны (45°), вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Это означает, что в основание пирамиды, равнобокую трапецию, можно вписать окружность. Радиус этой окружности, $R$, и будет радиусом основания конуса.

Рассмотрим основание пирамиды — равнобокую трапецию. Обозначим её высоту как $h_{тр}$. Радиус вписанной окружности связан с высотой трапеции соотношением $R = \frac{h_{тр}}{2}$.В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона — $c$. Тогда $a+b=2c$.Площадь трапеции $S_{тр}$ вычисляется по формуле $S_{тр} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр}$. Подставив $a+b=2c$, получим $S_{тр} = \frac{2c}{2} \cdot h_{тр} = c \cdot h_{тр}$.

В равнобокой трапеции высота $h_{тр}$, боковая сторона $c$ и острый угол $\alpha$ связаны соотношением $h_{тр} = c \cdot \sin \alpha$.По условию, $\alpha = 60°$ и $S_{тр} = 32\sqrt{3}$ см².Подставим выражение для $h_{тр}$ в формулу площади: $S_{тр} = c \cdot (c \cdot \sin \alpha) = c^2 \sin \alpha$.$32\sqrt{3} = c^2 \sin 60° = c^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.Отсюда находим $c^2$: $c^2 = \frac{32\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 64$.Значит, боковая сторона $c = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдём высоту трапеции: $h_{тр} = c \cdot \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.Радиус основания конуса $R$ равен половине высоты трапеции:$R = \frac{h_{тр}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Найдём её. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $R$ и апофемой (высотой боковой грани). В этом треугольнике катет $H$ противолежит углу, равному двугранному углу при ребре основания, а катет $R$ является прилежащим.Таким образом, $\tan(45°) = \frac{H}{R}$.Поскольку $\tan(45°) = 1$, получаем $H = R$.Следовательно, высота конуса $H = 2\sqrt{3}$ см.

Наконец, вычислим объём конуса:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{3})^2 (2\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (4 \cdot 3) (2\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi \cdot 2\sqrt{3} = 8\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $8\pi\sqrt{3}$ см³.

310. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

310. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения объема вписанного конуса необходимо определить его радиус основания $R$ и высоту $H$. Формула объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Конус вписан в пирамиду, это означает, что его основание (окружность) вписано в основание пирамиды (равнобедренный треугольник), а вершина совпадает с вершиной пирамиды. Высота конуса равна высоте пирамиды.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\phi$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания. Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

1. Нахождение радиуса $R$ основания конуса.
Радиус $R$ окружности, вписанной в треугольник, находится по формуле $R = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Рассмотрим основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углами при основании $\alpha$.

Проведем высоту к основанию $m$. Эта высота делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Длина высоты треугольника $h_{тр}$ равна: $h_{тр} = \frac{m}{2} \tan \alpha$.

Площадь основания $S$: $S = \frac{1}{2} \cdot m \cdot h_{тр} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \frac{m}{2} \tan \alpha = \frac{m^2}{4} \tan \alpha$.

Найдем длину боковой стороны треугольника $b$. Из того же прямоугольного треугольника: $\cos \alpha = \frac{m/2}{b}$, откуда $b = \frac{m}{2 \cos \alpha}$.

Полупериметр $p$: $p = \frac{m + b + b}{2} = \frac{m + 2 \cdot \frac{m}{2 \cos \alpha}}{2} = \frac{m(1 + \frac{1}{\cos \alpha})}{2} = \frac{m(1 + \cos \alpha)}{2 \cos \alpha}$.

Теперь найдем радиус $R$: $R = \frac{S}{p} = \frac{\frac{m^2}{4} \tan \alpha}{\frac{m(1 + \cos \alpha)}{2 \cos \alpha}} = \frac{m^2 \tan \alpha \cdot 2 \cos \alpha}{4m(1 + \cos \alpha)} = \frac{m \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha}{2(1 + \cos \alpha)} = \frac{m \sin \alpha}{2(1 + \cos \alpha)}$.

Применим формулы половинного угла: $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$. $R = \frac{m \cdot 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m \sin(\frac{\alpha}{2})}{2 \cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

2. Нахождение высоты $H$ конуса.
Высота пирамиды $H$ падает в центр вписанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $R$ (как катетами) и апофемой боковой грани (как гипотенузой). Угол между радиусом $R$ и апофемой — это линейный угол двугранного угла при ребре основания, и он равен $\phi$.

Из этого треугольника имеем соотношение: $\tan \phi = \frac{H}{R}$.

Отсюда высота $H$: $H = R \tan \phi = \frac{m}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi$.

3. Вычисление объема конуса.
Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{m}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \left(\frac{m}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi\right)$.

$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{m^2}{4} \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \left(\frac{m}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi\right) = \frac{1}{3}\pi \frac{m^3}{8} \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi$.

$V = \frac{\pi m^3}{24} \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi$.

Ответ: $V = \frac{\pi m^3}{24} \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi$.

311. Отрезки SA, SB и SC — образующие конуса. Известно, что $ \angle ASB = \angle ASC = \angle BSC = \alpha, AB = a $. Найдите объём конуса.

311. Отрезки $SA$, $SB$ и $SC$ — образующие конуса. Известно, что $\angle ASB = \angle ASC = \angle BSC = \alpha$, $AB = a$. Найдите объём конуса.

Пусть $S$ - вершина конуса, а точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности его основания. Отрезки $SA$, $SB$ и $SC$ являются образующими конуса. По определению, все образующие конуса равны. Обозначим их длину через $L$, то есть $SA = SB = SC = L$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ASB$, $\triangle ASC$ и $\triangle BSC$. Поскольку $SA = SB = SC = L$ и, по условию, $\angle ASB = \angle ASC = \angle BSC = \alpha$, эти три треугольника равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их оснований: $AB = AC = BC$. Так как по условию $AB = a$, то и $AC = BC = a$. Это означает, что в основание конуса вписан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$.

Для нахождения объёма конуса $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$ необходимо найти радиус основания $R$ и высоту конуса $H$.

Найдем сначала длину образующей $L$. Из равнобедренного треугольника $\triangle ASB$ по теореме косинусов имеем: $a^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L^2 \cdot \cos(\alpha) = 2L^2(1 - \cos\alpha)$. Отсюда выразим квадрат образующей: $L^2 = \frac{a^2}{2(1 - \cos\alpha)}$.

Радиус $R$ основания конуса является радиусом окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a$. Радиус такой окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, следовательно, $R^2 = \frac{a^2}{3}$.

Высота конуса $H$, радиус $R$ и образующая $L$ связаны по теореме Пифагора: $H^2 = L^2 - R^2$. Подставим найденные выражения для $L^2$ и $R^2$: $H^2 = \frac{a^2}{2(1 - \cos\alpha)} - \frac{a^2}{3} = a^2 \left( \frac{3 - 2(1 - \cos\alpha)}{6(1 - \cos\alpha)} \right) = a^2 \frac{1 + 2\cos\alpha}{6(1 - \cos\alpha)}$. Тогда высота $H = a \sqrt{\frac{1 + 2\cos\alpha}{6(1 - \cos\alpha)}}$.

Теперь можем вычислить объём конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2}{3}\right) \left( a \sqrt{\frac{1 + 2\cos\alpha}{6(1 - \cos\alpha)}} \right)$. Упростив выражение, получаем: $V = \frac{\pi a^3}{9} \sqrt{\frac{1 + 2\cos\alpha}{6(1 - \cos\alpha)}}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{9} \sqrt{\frac{1 + 2\cos\alpha}{6(1 - \cos\alpha)}}$.

312. Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 см и 6 см, а его высота — 3 см. Найдите объём усечённого конуса.

312. Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 см и 6 см, а его высота — 3 см. Найдите объём усечённого конуса.

Для решения задачи воспользуемся формулой объёма усечённого конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$,
где $h$ — высота конуса, а $R$ и $r$ — радиусы его оснований.

Согласно условию, у нас есть следующие данные:
Радиус большего основания $R = 8$ см.
Радиус меньшего основания $r = 6$ см.
Высота $h = 3$ см.

Подставим эти значения в формулу и произведём расчёт:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot (8^2 + 8 \cdot 6 + 6^2)$
$V = \pi \cdot (64 + 48 + 36)$
$V = \pi \cdot (112 + 36)$
$V = 148\pi$

Таким образом, объём усечённого конуса равен $148\pi$ см³.

Ответ: $148\pi$ см³.

313. Радиусы оснований усечённого конуса равны 12 см и 7 см, а его образующая — 13 см. Найдите объём усечённого конуса.

313. Радиусы оснований усечённого конуса равны 12 см и 7 см, а его образующая — 13 см. Найдите объём усечённого конуса.

Для нахождения объёма усечённого конуса используется формула:
$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$,
где $V$ — объём, $h$ — высота, $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания.

По условию задачи даны:
Радиус большего основания $R = 12$ см.
Радиус меньшего основания $r = 7$ см.
Образующая $l = 13$ см.

Для вычисления объёма необходимо сначала найти высоту усечённого конуса $h$. Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, образующей $l$ и разностью радиусов оснований $R - r$. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и разность радиусов $(R - r)$ — катетами.

По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + (R - r)^2$
Сначала вычислим разность радиусов:
$R - r = 12 - 7 = 5$ см.
Теперь подставим известные значения в формулу и найдём высоту $h$:
$13^2 = h^2 + 5^2$
$169 = h^2 + 25$
$h^2 = 169 - 25$
$h^2 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь, когда высота известна, можно вычислить объём усечённого конуса:
$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot (12^2 + 12 \cdot 7 + 7^2)$
$V = 4\pi (144 + 84 + 49)$
$V = 4\pi (277)$
$V = 1108\pi$ см³.

Ответ: $1108\pi$ см³.

314. В усечённом конусе отношение радиусов оснований равно $2$, а образующая длиной $8$ см наклонена к плоскости большего основания под углом $60^{\circ}$. Найдите объём усечённого конуса.

314. В усечённом конусе отношение радиусов оснований равно 2, а образующая длиной 8 см наклонена к плоскости большего основания под углом $60^\circ$. Найдите объём усечённого конуса.

Обозначим радиус большего основания усечённого конуса как $R$, радиус меньшего основания как $r$, образующую как $l$ и высоту как $h$.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:
1. Отношение радиусов оснований: $\frac{R}{r} = 2$.
2. Длина образующей: $l = 8$ см.
3. Угол наклона образующей к плоскости большего основания: $\alpha = 60^\circ$.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Для вычисления объёма необходимо найти значения $h$, $R$ и $r$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобедренной трапецией. Проведём высоту из вершины меньшего основания на большее. В результате образуется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это образующая $l$, один катет — это высота конуса $h$, а второй катет — это разность радиусов оснований $R - r$. Угол между гипотенузой (образующей) и катетом ($R - r$) равен $60^\circ$.

Используя тригонометрические соотношения в этом прямоугольном треугольнике, найдём $h$ и $R - r$:
$h = l \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
$R - r = l \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $R$ и $r$:
$\begin{cases} \frac{R}{r} = 2 \\ R - r = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $R$: $R = 2r$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2r - r = 4$
$r = 4$ см.

Теперь найдём радиус большего основания:
$R = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Мы нашли все необходимые параметры: $h = 4\sqrt{3}$ см, $R = 8$ см, $r = 4$ см. Подставим их в формулу для объёма:
$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot (8^2 + 8 \cdot 4 + 4^2)$
$V = \frac{4\pi\sqrt{3}}{3} (64 + 32 + 16)$
$V = \frac{4\pi\sqrt{3}}{3} \cdot 112$
$V = \frac{448\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{448\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делятся точкой пересечения на отрезки длиной 5,1 см и 11,9 см, а его высота равна 8 см. Найдите объём усечённого конуса.

315. Диагонали осевого сечения усечённого конуса делятся точкой пересечения на отрезки длиной 5,1 см и 11,9 см, а его высота равна 8 см. Найдите объём усечённого конуса.

Осевым сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция. Пусть радиусы большего и меньшего оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$ соответственно, а высота равна $H$. Тогда основаниями трапеции являются отрезки длиной $2R$ и $2r$, а её высота равна $H$. По условию задачи, высота $H = 8$ см.

Диагонали осевого сечения (трапеции) делятся точкой пересечения на отрезки длиной $5,1$ см и $11,9$ см. Следовательно, полная длина каждой диагонали равна $d = 5,1 + 11,9 = 17$ см.

Рассмотрим треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей. Эти треугольники подобны, так как основания трапеции параллельны. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих отрезков диагоналей:

$k = \frac{11,9}{5,1} = \frac{119}{51} = \frac{7 \cdot 17}{3 \cdot 17} = \frac{7}{3}$

Отношение оснований трапеции, а значит и радиусов оснований конуса, также равно коэффициенту подобия:

$\frac{2R}{2r} = \frac{R}{r} = k = \frac{7}{3}$, откуда получаем первое уравнение: $R = \frac{7}{3}r$.

Для нахождения самих радиусов воспользуемся свойством трапеции. Пусть наше осевое сечение — это трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=2R$ и $BC=2r$. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $K$. В результате получим треугольник $ACK$.

Рассмотрим свойства этого треугольника:

• Сторона $AC$ является диагональю трапеции, $AC = d = 17$ см.
• Так как $BCKD$ — параллелограмм (по построению $CK \parallel BD$ и $BC \parallel DK$), то сторона $CK = BD = d = 17$ см.
• Основание $AK = AD + DK = AD + BC = 2R + 2r = 2(R+r)$.
• Высота треугольника $ACK$, проведённая из вершины $C$ к основанию $AK$, равна высоте трапеции $H = 8$ см.

Поскольку $AC = CK = 17$ см, треугольник $ACK$ является равнобедренным. Его высота $CH$ (где $H$ на прямой $AK$) является также и медианой, а значит, делит основание $AK$ пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. По теореме Пифагора $AC^2 = AH^2 + CH^2$.

Длина катета $AH$ равна половине основания $AK$: $AH = \frac{1}{2}AK = \frac{1}{2} \cdot 2(R+r) = R+r$.

Подставим известные значения в теорему Пифагора:

$17^2 = (R+r)^2 + 8^2$

$289 = (R+r)^2 + 64$

$(R+r)^2 = 289 - 64 = 225$

$R+r = \sqrt{225} = 15$ см. Это второе уравнение.

Теперь решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} R = \frac{7}{3}r \\ R+r = 15 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$\frac{7}{3}r + r = 15$

$\frac{10}{3}r = 15$

$r = \frac{15 \cdot 3}{10} = \frac{45}{10} = 4,5$ см.

Теперь найдём $R$:

$R = 15 - r = 15 - 4,5 = 10,5$ см.

Мы нашли все необходимые параметры для вычисления объёма усечённого конуса. Формула для объёма:

$V = \frac{1}{3}\pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения $H=8$, $R=10,5$, $r=4,5$:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8 \cdot ((10,5)^2 + 10,5 \cdot 4,5 + (4,5)^2)$

$V = \frac{8\pi}{3} \cdot (110,25 + 47,25 + 20,25)$

$V = \frac{8\pi}{3} \cdot 177,75$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $177,75 = 177\frac{3}{4} = \frac{708+3}{4} = \frac{711}{4}$.

$V = \frac{8\pi}{3} \cdot \frac{711}{4} = \frac{8 \cdot 711}{3 \cdot 4}\pi = (2 \cdot 237)\pi = 474\pi$ см$^3$.

Ответ: $474\pi$ см$^3$.

316. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 6 см. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $AB$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

316. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 6 см. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $AB$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

Для решения данной задачи воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина, согласно которой объём тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, которую описывает центр масс этой фигуры. Формула имеет вид:

$V = 2 \pi r_c S$

где $S$ — площадь треугольника, а $r_c$ — расстояние от центра масс треугольника до оси вращения $m$.

1. Найдём площадь равностороннего треугольника S
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$По условию, сторона треугольника $a = 6$ см. Подставляем это значение в формулу:$S = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

2. Найдём расстояние $r_c$ от центра масс треугольника до оси вращения
Введём прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0, 0)$. Поскольку ось вращения $m$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $AB$, мы можем направить ось вращения $m$ вдоль оси $Oy$, а прямую $AB$ — вдоль оси $Ox$.В этой системе координат вершины треугольника будут иметь следующие координаты:Вершина $A$: $(0, 0)$.Вершина $B$: $(6, 0)$.Найдём координаты вершины $C(x_C, y_C)$. Абсцисса точки $C$ будет равна половине длины основания $AB$, так как в равностороннем треугольнике высота является и медианой.$x_C = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$.Ордината точки $C$ будет равна высоте треугольника $h$:$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.Таким образом, координаты вершины $C$ равны $(3, 3\sqrt{3})$.

Центр масс (или центроид) треугольника $G(x_G, y_G)$ — это точка пересечения его медиан. Координаты центроида вычисляются как среднее арифметическое координат вершин треугольника:$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{0 + 6 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3$.$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{0 + 0 + 3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.Итак, центр масс $G$ имеет координаты $(3, \sqrt{3})$.

Ось вращения $m$ совпадает с осью $Oy$ (уравнение $x=0$). Расстояние $r_c$ от центра масс $G(3, \sqrt{3})$ до оси вращения равно модулю абсциссы этой точки:$r_c = |x_G| = 3$ см.

3. Вычислим объём тела вращения V
Теперь, зная площадь $S = 9\sqrt{3}$ см² и расстояние $r_c = 3$ см, мы можем вычислить объём тела вращения по теореме Паппа-Гульдина:$V = 2 \pi r_c S = 2 \pi \cdot 3 \cdot 9\sqrt{3} = 54\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $54\pi\sqrt{3}$ см³.