Страница 39 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

326. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите объём шара, описанного около данной пирамиды.

326. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите объём шара, описанного около данной пирамиды.

Пусть $a$ — сторона основания правильной треугольной пирамиды, а $l$ — её боковое ребро. По условию, $a = 6$ см и $l = 4$ см. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус описанного шара.

Для нахождения радиуса $R$ можно использовать формулу $R = \frac{l^2}{2H}$, где $H$ — высота пирамиды. Чтобы найти высоту $H$, воспользуемся прямоугольным треугольником, образованным высотой, боковым ребром (в качестве гипотенузы) и радиусом $R_{осн}$ окружности, описанной около основания. По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R_{осн}^2$.

Сначала вычислим $R_{осн}$ для правильного треугольника в основании со стороной $a = 6$ см:$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдём высоту пирамиды $H$ из соотношения $H^2 = l^2 - R_{осн}^2$:$H^2 = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - (4 \cdot 3) = 16 - 12 = 4$.Отсюда $H = \sqrt{4} = 2$ см.

Подставим найденные значения $l$ и $H$ в формулу для радиуса описанного шара:$R = \frac{l^2}{2H} = \frac{4^2}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$ см.

Наконец, вычислим объём шара:$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{256\pi}{3}$ см$^3$.

327. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём шара, вписанного в данную пирамиду.

327. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём шара, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения объёма вписанного шара необходимо сначала определить его радиус $R$. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. Сторона основания равна $a$. Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на её высоте $SO$. Шар касается основания в точке $O$ и боковых граней.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему боковой грани $SM$, где $M$ — середина стороны основания, например, $AB$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$, где $\angle O = 90^\circ$.

Отрезок $OM$ является апофемой основания — правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ радиус вписанной окружности (апофема) равен высоте равностороннего треугольника со стороной $a$. Таким образом,
$OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между боковой гранью $(SAB)$ и плоскостью основания. Линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle SMO$, так как $SM \perp AB$ и $OM \perp AB$. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте $SO$ и равноудалён от основания и боковой грани. В плоскости сечения $SOM$ это означает, что точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle SMO$. Расстояние от точки $I$ до основания (отрезок $IO$) и до боковой грани (перпендикуляр из $I$ к $SM$) равно радиусу шара $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$, в котором:

• $\angle O = 90^\circ$
• Катет $IO = R$ (радиус вписанного шара)
• Катет $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (апофема основания)
• Угол $\angle OMI$ равен половине угла $\angle SMO$, так как $IM$ — биссектриса. Следовательно, $\angle OMI = \frac{\alpha}{2}$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике $IOM$ имеем:
$\tan(\angle OMI) = \frac{IO}{OM}$

Подставим известные значения:
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{R}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

Отсюда выразим радиус $R$:
$R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$

Теперь, зная радиус, найдём объём шара:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a^3 (\sqrt{3})^3}{2^3} \tan^3(\frac{\alpha}{2})\right)$

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a^3 \cdot 3\sqrt{3}}{8} \tan^3(\frac{\alpha}{2})\right) = \frac{4 \cdot 3 \sqrt{3}}{3 \cdot 8} \pi a^3 \tan^3(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \pi a^3 \tan^3(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2} \tan^3(\frac{\alpha}{2})$

328. Радиус шара равен 4 см. Найдите площадь его поверхности.

328. Радиус шара равен 4 см. Найдите площадь его поверхности.

Для того чтобы найти площадь поверхности шара, воспользуемся формулой площади поверхности сферы:

$S = 4 \pi R^2$

где $S$ — это площадь поверхности, а $R$ — это радиус шара.

По условию задачи, радиус шара $R$ равен 4 см. Подставим это значение в формулу:

$S = 4 \pi (4 \text{ см})^2$

Сначала возведем радиус в квадрат:

$4^2 = 16$

Теперь умножим полученное значение на $4\pi$:

$S = 4 \pi \cdot 16 \text{ см}^2 = 64 \pi \text{ см}^2$

Ответ: $64 \pi \text{ см}^2$.

329. Радиус шара увеличили в 3 раза. Как при этом изменилась площадь его поверхности?

329. Радиус шара увеличили в 3 раза. Как при этом изменилась площадь его поверхности?

Формула для вычисления площади поверхности шара: $S = 4\pi r^2$, где $r$ — это радиус шара.

Пусть $r_1$ — это первоначальный радиус шара. Тогда его первоначальная площадь поверхности равна $S_1 = 4\pi r_1^2$.

По условию задачи, радиус увеличили в 3 раза. Новый радиус $r_2$ будет равен $r_2 = 3r_1$.

Теперь вычислим новую площадь поверхности шара $S_2$ с новым радиусом $r_2$:

$S_2 = 4\pi r_2^2 = 4\pi (3r_1)^2 = 4\pi (9r_1^2) = 9 \cdot (4\pi r_1^2)$

Поскольку $S_1 = 4\pi r_1^2$, мы можем выразить $S_2$ через $S_1$:

$S_2 = 9 \cdot S_1$

Чтобы определить, как изменилась площадь, найдем отношение новой площади к старой:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{9S_1}{S_1} = 9$

Это означает, что площадь поверхности шара увеличилась в 9 раз.

Ответ: Площадь поверхности увеличилась в 9 раз.

330. Объём шара уменьшили в 64 раза. Во сколько раз уменьшилась площадь его поверхности?

330. Объём шара уменьшили в 64 раза. Во сколько раз уменьшилась площадь его поверхности?

Обозначим радиус, объём и площадь поверхности исходного шара как $R_1$, $V_1$ и $S_1$ соответственно. Аналогичные величины для уменьшенного шара обозначим как $R_2$, $V_2$ и $S_2$.

Формула для объёма шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Формула для площади поверхности шара: $S = 4\pi R^2$.

По условию задачи, объём шара уменьшили в 64 раза. Это означает, что отношение исходного объёма к новому равно 64:

$\frac{V_1}{V_2} = 64$

Подставим в это соотношение формулу объёма шара:

$\frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = 64$

Сократив общие множители, получим отношение кубов радиусов:

$(\frac{R_1}{R_2})^3 = 64$

Чтобы найти отношение радиусов, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения:

$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{64} = 4$

Это значит, что радиус шара уменьшился в 4 раза.

Теперь найдём, во сколько раз уменьшилась площадь поверхности. Для этого составим отношение площадей $S_1$ и $S_2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2$

Мы уже выяснили, что отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2} = 4$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{S_1}{S_2} = 4^2 = 16$

Таким образом, площадь поверхности шара уменьшилась в 16 раз.

Ответ: в 16 раз.

331. На расстоянии 5 см от центра шара проведено сечение, площадь которого равна $144\pi \text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара.

331. На расстоянии 5 см от центра шара проведено сечение, площадь которого равна $144\pi \text{ см}^2$. Найдите площадь поверхности шара.

Пусть $R$ — радиус шара, $d$ — расстояние от центра шара до плоскости сечения, а $r$ — радиус сечения.

По условию задачи, расстояние от центра шара до сечения $d = 5$ см, а площадь сечения $S_{сеч} = 144\pi$ см².

Сечение шара плоскостью является кругом, площадь которого вычисляется по формуле $S_{сеч} = \pi r^2$. Мы можем найти радиус этого сечения $r$:
$\pi r^2 = 144\pi$
$r^2 = 144$
$r = \sqrt{144} = 12$ см.

Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $d$ и $r$ — катеты. По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения $d = 5$ см и $r = 12$ см, чтобы найти квадрат радиуса шара:

$R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

Теперь, когда мы знаем $R^2$, мы можем найти площадь поверхности шара $S_{шара}$ по формуле:

$S_{шара} = 4\pi R^2$

Подставим найденное значение $R^2 = 169$:
$S_{шара} = 4\pi \cdot 169 = 676\pi$ см².

Ответ: $676\pi$ см².

332. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $36\sqrt{3}$ см, а апофема — 30 см. Найдите площадь сферы, вписанной в данную пирамиду.

332. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $36\sqrt{3}$ см, а апофема — 30 см. Найдите площадь сферы, вписанной в данную пирамиду.

Для нахождения площади сферы, вписанной в пирамиду, необходимо сначала найти её радиус $r$. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$. Радиус сферы, вписанной в пирамиду, можно найти по формуле $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объём пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь её полной поверхности.

Вычисление площади полной поверхности пирамиды

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 36\sqrt{3}$ см.
Периметр основания: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 36\sqrt{3} = 108\sqrt{3}$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(36\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1296 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 324 \cdot 3\sqrt{3} = 972\sqrt{3}$ см$^2$.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$, где $h_a = 30$ см — апофема.
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 108\sqrt{3} \cdot 30 = 54\sqrt{3} \cdot 30 = 1620\sqrt{3}$ см$^2$.
Площадь полной поверхности пирамиды:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 972\sqrt{3} + 1620\sqrt{3} = 2592\sqrt{3}$ см$^2$.

Вычисление объема пирамиды

Для вычисления объема нам понадобится высота пирамиды $H$. Высота $H$, апофема $h_a$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник, в котором апофема является гипотенузой.
Радиус вписанной в основание (равносторонний треугольник) окружности:
$r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 18$ см.
По теореме Пифагора найдём высоту пирамиды:
$H = \sqrt{h_a^2 - r_{осн}^2} = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24$ см.
Теперь вычислим объём пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$:
$V = \frac{1}{3} \cdot 972\sqrt{3} \cdot 24 = 972\sqrt{3} \cdot 8 = 7776\sqrt{3}$ см$^3$.

Вычисление радиуса вписанной сферы

Подставим найденные значения объема и площади полной поверхности в формулу для радиуса вписанной сферы:
$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 7776\sqrt{3}}{2592\sqrt{3}} = \frac{23328\sqrt{3}}{2592\sqrt{3}} = 9$ см.

Вычисление площади сферы

Зная радиус, находим площадь поверхности вписанной сферы:
$S_{сферы} = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 9^2 = 4\pi \cdot 81 = 324\pi$ см$^2$.

Ответ: $324\pi$ см$^2$.

333. Площадь поверхности шара равна $10 \text{ см}^2$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного шара.

333. Площадь поверхности шара равна $10 \text{ см}^2$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного шара.

Пусть $R$ — радиус данного шара. Площадь поверхности шара ($S_{шара}$) вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$.

По условию задачи, площадь поверхности шара равна 10 см², следовательно: $4\pi R^2 = 10 \text{ см}^2$.

Цилиндр описан около шара. Это означает, что шар касается оснований и боковой поверхности цилиндра. Из этого следует, что радиус основания цилиндра ($r_{цил}$) равен радиусу шара ($R$), а высота цилиндра ($h_{цил}$) равна диаметру шара ($2R$).

$r_{цил} = R$
$h_{цил} = 2R$

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цил}$) равна сумме площади его боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей оснований ($S_{осн}$). $S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r_{цил} h_{цил}$. Подставим наши значения: $S_{бок} = 2\pi R (2R) = 4\pi R^2$.

Площадь одного основания цилиндра (которое является кругом) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r_{цил}^2$. Подставим наше значение: $S_{осн} = \pi R^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности цилиндра: $S_{цил} = 4\pi R^2 + 2(\pi R^2) = 6\pi R^2$.

Мы знаем, что $4\pi R^2 = 10$. Мы можем найти искомую площадь, выразив $S_{цил}$ через $S_{шара}$: $\frac{S_{цил}}{S_{шара}} = \frac{6\pi R^2}{4\pi R^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, $S_{цил} = \frac{3}{2} S_{шара}$.

Подставим известное значение площади поверхности шара: $S_{цил} = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15 \text{ см}^2$.

Ответ: 15 см².

334. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь сферы, описанной около данной пирамиды.

334. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь сферы, описанной около данной пирамиды.

Решение.

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида, где $S$ — вершина, а $\triangle ABC$ — основание. $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — центр основания (центр описанной и вписанной окружностей равностороннего треугольника $ABC$). Боковое ребро $SA=b$. Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания $ABC$ — это угол между ребром $SA$ и его проекцией $AO$ на эту плоскость, то есть $\angle SAO = \beta$.

Площадь сферы находится по формуле $S = 4 \pi R^2$, где $R$ — радиус описанной сферы. Наша задача — найти этот радиус.

Центр $O_{сф}$ сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте $SO$. Все вершины пирамиды лежат на сфере, поэтому они равноудалены от центра сферы. В частности, $O_{сф}S = O_{сф}A = R$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $S$, центр основания $O$ и вершину основания $A$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (с прямым углом $\angle SOA$).

Так как точка $O_{сф}$ равноудалена от точек $S$ и $A$, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $SA$. Пусть $M$ — середина ребра $SA$. Тогда $SM = \frac{SA}{2} = \frac{b}{2}$. Серединный перпендикуляр $MO_{сф}$ пересекает высоту $SO$ в точке $O_{сф}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SMO_{сф}$. Он является прямоугольным, так как $MO_{сф} \perp SA$. В этом треугольнике $SO_{сф}$ является гипотенузой, и её длина равна радиусу описанной сферы $R$.

Найдем угол $\angle MSO_{сф}$. Этот угол совпадает с углом $\angle ASO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$. Из $\triangle SAO$ имеем: $\angle ASO = 90^\circ - \angle SAO = 90^\circ - \beta$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle SMO_{сф}$ мы знаем катет $SM$ и прилежащий к нему острый угол $\angle MSO_{сф}$. Мы можем выразить гипотенузу $SO_{сф} = R$:
$\cos(\angle MSO_{сф}) = \frac{SM}{SO_{сф}}$
$\cos(90^\circ - \beta) = \frac{b/2}{R}$
$\sin\beta = \frac{b}{2R}$

Отсюда выражаем радиус описанной сферы $R$:
$R = \frac{b}{2 \sin\beta}$

Теперь, зная радиус, мы можем найти площадь сферы:
$S_{сферы} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{b}{2 \sin\beta}\right)^2 = 4 \pi \frac{b^2}{4 \sin^2\beta} = \frac{\pi b^2}{\sin^2\beta}$

Ответ: $\frac{\pi b^2}{\sin^2\beta}$

335. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Образующая усечённого конуса равна 30 см, а его высота — 24 см. Найдите площадь сферы, описанной около данного усечённого конуса.

335. Диагональ осевого сечения усеченного конуса перпендикулярна его образующей, лежащей в плоскости сечения. Образующая усеченного конуса равна 30 см, а его высота — 24 см. Найдите площадь сферы, описанной около данного усеченного конуса.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция. Обозначим ее $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. $AD = 2R_1$ и $BC = 2r_2$, где $R_1$ и $r_2$ — радиусы большего и меньшего оснований конуса соответственно. Боковые стороны $AB = CD = l$ являются образующими конуса. Высота конуса $h$ является высотой трапеции.

По условию задачи, образующая $l = 30$ см, высота $h = 24$ см. Диагональ осевого сечения, например $AC$, перпендикулярна образующей $CD$. Это означает, что треугольник $\triangle ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

1. Найдем радиусы оснований конуса $R_1$ и $r_2$.

Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$. В нем гипотенуза $CD = l = 30$ см, катет $CK = h = 24$ см. Катет $KD$ равен разности радиусов оснований: $KD = R_1 - r_2$.

По теореме Пифагора для $\triangle CKD$:

$KD^2 + CK^2 = CD^2$

$(R_1 - r_2)^2 + h^2 = l^2$

$(R_1 - r_2)^2 + 24^2 = 30^2$

$(R_1 - r_2)^2 + 576 = 900$

$(R_1 - r_2)^2 = 900 - 576 = 324$

$R_1 - r_2 = \sqrt{324} = 18$ см.

Теперь воспользуемся условием $AC \perp CD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$ проведем высоту $CK$ к стороне $AD$. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике известно, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Но здесь $AD$ - это не гипотенуза, а сторона. Гипотенузой является $AD$ в треугольнике $\triangle ACD$. Это неверно. Прямой угол $\angle ACD = 90^\circ$, значит гипотенуза - это сторона $AD$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle ACD$, где $AD$ — гипотенуза: $AD^2 = AC^2 + CD^2$.

Выразим $AC^2$ через радиусы и высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACK$. Катет $CK = h = 24$ см. Катет $AK = AD - KD = 2R_1 - (R_1 - r_2) = R_1 + r_2$.

По теореме Пифагора для $\triangle ACK$:

$AC^2 = AK^2 + CK^2 = (R_1 + r_2)^2 + h^2$.

Подставим известные величины в уравнение $AD^2 = AC^2 + CD^2$:

$(2R_1)^2 = ((R_1 + r_2)^2 + h^2) + l^2$

Из соотношения для $\triangle CKD$ мы знаем, что $l^2 = (R_1 - r_2)^2 + h^2$. Подставим это:

$4R_1^2 = (R_1 + r_2)^2 + h^2 + (R_1 - r_2)^2 + h^2$

$4R_1^2 = (R_1^2 + 2R_1r_2 + r_2^2) + (R_1^2 - 2R_1r_2 + r_2^2) + 2h^2$

$4R_1^2 = 2R_1^2 + 2r_2^2 + 2h^2$

$2R_1^2 = 2r_2^2 + 2h^2$

$R_1^2 = r_2^2 + h^2 \Rightarrow R_1^2 - r_2^2 = h^2$

$(R_1 - r_2)(R_1 + r_2) = h^2$

Мы уже нашли, что $R_1 - r_2 = 18$ см, и знаем, что $h=24$ см.

$18 \cdot (R_1 + r_2) = 24^2 = 576$

$R_1 + r_2 = \frac{576}{18} = 32$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} R_1 - r_2 = 18 \\ R_1 + r_2 = 32 \end{cases}$

Сложив уравнения, получим: $2R_1 = 50 \Rightarrow R_1 = 25$ см.

Вычтя первое уравнение из второго: $2r_2 = 14 \Rightarrow r_2 = 7$ см.

2. Найдем радиус описанной сферы $R$.

Сфера, описанная около усеченного конуса, проходит через окружности его оснований. Центр такой сферы лежит на оси конуса. Радиус этой сферы равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения — равнобокой трапеции $ABCD$.

Поскольку треугольник $\triangle ACD$, являющийся частью трапеции, прямоугольный, то окружность, описанная около этого треугольника, имеет центр в середине его гипотенузы $AD$. Эта же окружность будет описана и около всей равнобокой трапеции $ABCD$.

Таким образом, центр описанной сферы лежит в центре большего основания конуса, а ее радиус $R$ равен радиусу большего основания $R_1$.

$R = R_1 = 25$ см.

3. Найдем площадь поверхности сферы.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

$S = 4\pi (25)^2 = 4\pi \cdot 625 = 2500\pi$ см$^2$.

Ответ: $2500\pi$ см$^2$.