Номер 334, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

334. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь сферы, описанной около данной пирамиды.

334. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь сферы, описанной около данной пирамиды.

Решение.

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида, где $S$ — вершина, а $\triangle ABC$ — основание. $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — центр основания (центр описанной и вписанной окружностей равностороннего треугольника $ABC$). Боковое ребро $SA=b$. Угол между боковым ребром $SA$ и плоскостью основания $ABC$ — это угол между ребром $SA$ и его проекцией $AO$ на эту плоскость, то есть $\angle SAO = \beta$.

Площадь сферы находится по формуле $S = 4 \pi R^2$, где $R$ — радиус описанной сферы. Наша задача — найти этот радиус.

Центр $O_{сф}$ сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на её высоте $SO$. Все вершины пирамиды лежат на сфере, поэтому они равноудалены от центра сферы. В частности, $O_{сф}S = O_{сф}A = R$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $S$, центр основания $O$ и вершину основания $A$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (с прямым углом $\angle SOA$).

Так как точка $O_{сф}$ равноудалена от точек $S$ и $A$, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $SA$. Пусть $M$ — середина ребра $SA$. Тогда $SM = \frac{SA}{2} = \frac{b}{2}$. Серединный перпендикуляр $MO_{сф}$ пересекает высоту $SO$ в точке $O_{сф}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SMO_{сф}$. Он является прямоугольным, так как $MO_{сф} \perp SA$. В этом треугольнике $SO_{сф}$ является гипотенузой, и её длина равна радиусу описанной сферы $R$.

Найдем угол $\angle MSO_{сф}$. Этот угол совпадает с углом $\angle ASO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$. Из $\triangle SAO$ имеем: $\angle ASO = 90^\circ - \angle SAO = 90^\circ - \beta$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle SMO_{сф}$ мы знаем катет $SM$ и прилежащий к нему острый угол $\angle MSO_{сф}$. Мы можем выразить гипотенузу $SO_{сф} = R$:
$\cos(\angle MSO_{сф}) = \frac{SM}{SO_{сф}}$
$\cos(90^\circ - \beta) = \frac{b/2}{R}$
$\sin\beta = \frac{b}{2R}$

Отсюда выражаем радиус описанной сферы $R$:
$R = \frac{b}{2 \sin\beta}$

Теперь, зная радиус, мы можем найти площадь сферы:
$S_{сферы} = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\frac{b}{2 \sin\beta}\right)^2 = 4 \pi \frac{b^2}{4 \sin^2\beta} = \frac{\pi b^2}{\sin^2\beta}$

Ответ: $\frac{\pi b^2}{\sin^2\beta}$