Номер 1, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Точки $D, E, F$ и $M$ расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 11. Расстояние от каждой из точек $D, E, F$ и $M$ до начала координат равно 5. Найдите координаты этих точек.

Рис. 11

1. Точки $D$, $E$, $F$ и $M$ расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 11. Расстояние от каждой из точек $D$, $E$, $F$ и $M$ до начала координат равно 5. Найдите координаты этих точек.

Рис. 11

Расстояние от точки с координатами $(x, y, z)$ до начала координат O(0, 0, 0) вычисляется по формуле $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. По условию задачи, расстояние от каждой из точек D, E, F и M до начала координат равно 5. Следовательно, для координат каждой из этих точек выполняется равенство $x^2 + y^2 + z^2 = 5^2 = 25$.

Для точки D:
Точка D лежит на положительной части оси Ox, поэтому её координаты y и z равны нулю, а координата x положительна. Координаты точки имеют вид $D(x, 0, 0)$, где $x > 0$.
Подставим в уравнение: $x^2 + 0^2 + 0^2 = 25$, откуда следует $x^2 = 25$.
Так как $x > 0$, то $x = 5$.
Ответ: D(5, 0, 0).

Для точки E:
Точка E лежит на отрицательной части оси Oy, поэтому её координаты x и z равны нулю, а координата y отрицательна. Координаты точки имеют вид $E(0, y, 0)$, где $y < 0$.
Подставим в уравнение: $0^2 + y^2 + 0^2 = 25$, откуда следует $y^2 = 25$.
Так как $y < 0$, то $y = -5$.
Ответ: E(0, -5, 0).

Для точки M:
Точка M лежит на отрицательной части оси Oz, поэтому её координаты x и y равны нулю, а координата z отрицательна. Координаты точки имеют вид $M(0, 0, z)$, где $z < 0$.
Подставим в уравнение: $0^2 + 0^2 + z^2 = 25$, откуда следует $z^2 = 25$.
Так как $z < 0$, то $z = -5$.
Ответ: M(0, 0, -5).

Для точки F:
Точка F лежит в плоскости Oyz, поэтому её координата x равна нулю. Из рисунка видно, что она находится на биссектрисе угла, образованного положительными полуосями Oy и Oz. Это означает, что её координаты y и z равны и положительны. Координаты точки имеют вид $F(0, y, z)$, где $y = z > 0$.
Подставим в уравнение: $0^2 + y^2 + z^2 = 25$.
Заменим $z$ на $y$: $y^2 + y^2 = 25$, что равносильно $2y^2 = 25$.
Отсюда $y^2 = \frac{25}{2}$. Так как $y > 0$, то $y = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку $z=y$, то $z = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: F$(0, \frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2})$.