Номер 333, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

333. Площадь поверхности шара равна $10 \text{ см}^2$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного шара.

333. Площадь поверхности шара равна $10 \text{ см}^2$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, описанного около данного шара.

Пусть $R$ — радиус данного шара. Площадь поверхности шара ($S_{шара}$) вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$.

По условию задачи, площадь поверхности шара равна 10 см², следовательно: $4\pi R^2 = 10 \text{ см}^2$.

Цилиндр описан около шара. Это означает, что шар касается оснований и боковой поверхности цилиндра. Из этого следует, что радиус основания цилиндра ($r_{цил}$) равен радиусу шара ($R$), а высота цилиндра ($h_{цил}$) равна диаметру шара ($2R$).

$r_{цил} = R$
$h_{цил} = 2R$

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цил}$) равна сумме площади его боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей оснований ($S_{осн}$). $S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r_{цил} h_{цил}$. Подставим наши значения: $S_{бок} = 2\pi R (2R) = 4\pi R^2$.

Площадь одного основания цилиндра (которое является кругом) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r_{цил}^2$. Подставим наше значение: $S_{осн} = \pi R^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности цилиндра: $S_{цил} = 4\pi R^2 + 2(\pi R^2) = 6\pi R^2$.

Мы знаем, что $4\pi R^2 = 10$. Мы можем найти искомую площадь, выразив $S_{цил}$ через $S_{шара}$: $\frac{S_{цил}}{S_{шара}} = \frac{6\pi R^2}{4\pi R^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, $S_{цил} = \frac{3}{2} S_{шара}$.

Подставим известное значение площади поверхности шара: $S_{цил} = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15 \text{ см}^2$.

Ответ: 15 см².