Номер 332, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

332. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $36\sqrt{3}$ см, а апофема — 30 см. Найдите площадь сферы, вписанной в данную пирамиду.

332. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $36\sqrt{3}$ см, а апофема — 30 см. Найдите площадь сферы, вписанной в данную пирамиду.

Для нахождения площади сферы, вписанной в пирамиду, необходимо сначала найти её радиус $r$. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$. Радиус сферы, вписанной в пирамиду, можно найти по формуле $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объём пирамиды, а $S_{полн}$ — площадь её полной поверхности.

Вычисление площади полной поверхности пирамиды

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной $a = 36\sqrt{3}$ см.
Периметр основания: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 36\sqrt{3} = 108\sqrt{3}$ см.
Площадь основания: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(36\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1296 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 324 \cdot 3\sqrt{3} = 972\sqrt{3}$ см$^2$.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$, где $h_a = 30$ см — апофема.
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 108\sqrt{3} \cdot 30 = 54\sqrt{3} \cdot 30 = 1620\sqrt{3}$ см$^2$.
Площадь полной поверхности пирамиды:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 972\sqrt{3} + 1620\sqrt{3} = 2592\sqrt{3}$ см$^2$.

Вычисление объема пирамиды

Для вычисления объема нам понадобится высота пирамиды $H$. Высота $H$, апофема $h_a$ и радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник, в котором апофема является гипотенузой.
Радиус вписанной в основание (равносторонний треугольник) окружности:
$r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 18$ см.
По теореме Пифагора найдём высоту пирамиды:
$H = \sqrt{h_a^2 - r_{осн}^2} = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24$ см.
Теперь вычислим объём пирамиды по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$:
$V = \frac{1}{3} \cdot 972\sqrt{3} \cdot 24 = 972\sqrt{3} \cdot 8 = 7776\sqrt{3}$ см$^3$.

Вычисление радиуса вписанной сферы

Подставим найденные значения объема и площади полной поверхности в формулу для радиуса вписанной сферы:
$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot 7776\sqrt{3}}{2592\sqrt{3}} = \frac{23328\sqrt{3}}{2592\sqrt{3}} = 9$ см.

Вычисление площади сферы

Зная радиус, находим площадь поверхности вписанной сферы:
$S_{сферы} = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 9^2 = 4\pi \cdot 81 = 324\pi$ см$^2$.

Ответ: $324\pi$ см$^2$.