Номер 325, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

325. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, катеты которого равны $2\sqrt{3}$ см и 2 см. Диагональ боковой грани призмы, содержащей большую сторону основания, образует с плоскостью основания угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{5}}{3}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

325. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, катеты которого равны $2\sqrt{3}$ см и 2 см. Диагональ боковой грани призмы, содержащей большую сторону основания, образует с плоскостью основания угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{5}}{3}$. Найдите объём шара, описанного около призмы.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты равны $AC = 2$ см и $BC = 2\sqrt{3}$ см.
1. Найдем гипотенузу $AB$, которая является большей стороной основания, по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$ см.
2. Боковая грань, содержащая большую сторону основания $AB$, является прямоугольником $ABB_1A_1$. Пусть $H = AA_1$ - высота призмы. Диагональ этой грани, например $A_1B$, образует с плоскостью основания угол $\angle A_1BA$. Проекцией наклонной $A_1B$ на плоскость основания является сторона $AB$. Треугольник $A_1AB$ — прямоугольный, так как призма прямая ($AA_1 \perp AB$).
3. В прямоугольном треугольнике $A_1AB$ катет $AA_1 = H$, катет $AB = 4$ см, гипотенуза $A_1B$. Угол между диагональю и плоскостью основания — это $\angle A_1BA$. Синус этого угла равен:
$\sin(\angle A_1BA) = \frac{AA_1}{A_1B} = \frac{H}{A_1B}$.
По условию, $\sin(\angle A_1BA) = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Из основного тригонометрического тождества найдем косинус этого угла:
$\cos(\angle A_1BA) = \sqrt{1 - \sin^2(\angle A_1BA)} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
С другой стороны, в том же треугольнике $A_1AB$:
$\cos(\angle A_1BA) = \frac{AB}{A_1B}$.
Подставим известные значения:
$\frac{2}{3} = \frac{4}{A_1B} \implies A_1B = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.
Теперь найдем высоту призмы $H$ из теоремы Пифагора для треугольника $A_1AB$:
$H = AA_1 = \sqrt{(A_1B)^2 - AB^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.
4. Радиус $R$ сферы, описанной около прямой призмы, находится по формуле $R^2 = R_{осн}^2 + (\frac{H}{2})^2$, где $R_{осн}$ — радиус окружности, описанной около основания.
Так как основание — прямоугольный треугольник, радиус описанной около него окружности равен половине гипотенузы:
$R_{осн} = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.
Теперь найдем радиус описанной сферы:
$R^2 = 2^2 + (\frac{2\sqrt{5}}{2})^2 = 4 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$.
$R = \sqrt{9} = 3$ см.
5. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:
$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 4 \cdot 9 \pi = 36\pi$ см³.
Ответ: $36\pi$ см³.