Номер 324, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

324. Объём правильной шестиугольной призмы равен $V$.
Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

324. Объём правильной шестиугольной призмы равен $V$.

Найдите объём шара, вписанного в эту призму.

Пусть $V$ – объём правильной шестиугольной призмы, а $V_{ш}$ – объём вписанного в неё шара. Обозначим радиус вписанного шара как $R$, высоту призмы как $H$, а сторону правильного шестиугольника в основании – как $a$.

Так как шар вписан в призму, он касается её верхнего и нижнего оснований, а также всех шести боковых граней. Из условия касания верхнего и нижнего оснований следует, что высота призмы равна диаметру шара:$H = 2R$.

Из условия касания боковых граней следует, что окружность большого круга шара (в сечении, параллельном основаниям) вписана в шестиугольник, лежащий в основании призмы. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, равен апофеме этого шестиугольника и вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, радиус шара равен радиусу вписанной в основание окружности:$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.Отсюда можно выразить сторону шестиугольника через радиус шара:$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$. Площадь основания (правильного шестиугольника) равна $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$. Подставим выражение для $a$ через $R$:$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3}R^2$.

Теперь найдём объём призмы, подставив выражения для $S_{осн}$ и $H$ через $R$:$V = S_{осн} \cdot H = (2\sqrt{3}R^2) \cdot (2R) = 4\sqrt{3}R^3$.

Объём шара находится по формуле $V_{ш} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Нам нужно выразить $V_{ш}$ через $V$. Из формулы для объёма призмы выразим $R^3$:$R^3 = \frac{V}{4\sqrt{3}}$.

Подставим полученное выражение для $R^3$ в формулу объёма шара:$V_{ш} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{V}{4\sqrt{3}}\right) = \frac{4\pi V}{12\sqrt{3}} = \frac{\pi V}{3\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$V_{ш} = \frac{\pi V \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}V}{3 \cdot 3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}V$.

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{9}V$.