Номер 327, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

327. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём шара, вписанного в данную пирамиду.

327. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\alpha$. Найдите объём шара, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения объёма вписанного шара необходимо сначала определить его радиус $R$. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и центром основания $O$. Сторона основания равна $a$. Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на её высоте $SO$. Шар касается основания в точке $O$ и боковых граней.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему боковой грани $SM$, где $M$ — середина стороны основания, например, $AB$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$, где $\angle O = 90^\circ$.

Отрезок $OM$ является апофемой основания — правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ радиус вписанной окружности (апофема) равен высоте равностороннего треугольника со стороной $a$. Таким образом,
$OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между боковой гранью $(SAB)$ и плоскостью основания. Линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle SMO$, так как $SM \perp AB$ и $OM \perp AB$. По условию, $\angle SMO = \alpha$.

Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте $SO$ и равноудалён от основания и боковой грани. В плоскости сечения $SOM$ это означает, что точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle SMO$. Расстояние от точки $I$ до основания (отрезок $IO$) и до боковой грани (перпендикуляр из $I$ к $SM$) равно радиусу шара $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$, в котором:

• $\angle O = 90^\circ$
• Катет $IO = R$ (радиус вписанного шара)
• Катет $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (апофема основания)
• Угол $\angle OMI$ равен половине угла $\angle SMO$, так как $IM$ — биссектриса. Следовательно, $\angle OMI = \frac{\alpha}{2}$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике $IOM$ имеем:
$\tan(\angle OMI) = \frac{IO}{OM}$

Подставим известные значения:
$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{R}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

Отсюда выразим радиус $R$:
$R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$

Теперь, зная радиус, найдём объём шара:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a^3 (\sqrt{3})^3}{2^3} \tan^3(\frac{\alpha}{2})\right)$

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a^3 \cdot 3\sqrt{3}}{8} \tan^3(\frac{\alpha}{2})\right) = \frac{4 \cdot 3 \sqrt{3}}{3 \cdot 8} \pi a^3 \tan^3(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \pi a^3 \tan^3(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2} \tan^3(\frac{\alpha}{2})$