Номер 323, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

323. На расстоянии 3 см от центра шара проведено сечение.

Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и поверхности шара, если объём шара равен

$\frac{500}{3}\pi$ см$^3$.

323. На расстоянии 3 см от центра шара проведено сечение. Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и поверхности шара, если объём шара равен $ \frac{500}{3} \pi $ см$^3$.

Линия пересечения плоскости и поверхности шара является окружностью. Чтобы найти длину этой линии (длину окружности), необходимо сначала найти её радиус $r$. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

Шаг 1: Нахождение радиуса шара (R)
Объём шара $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
По условию задачи, объём шара равен $V = \frac{500}{3}\pi \text{ см}^3$.
Приравняем оба выражения для объёма, чтобы найти $R$:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{500}{3}\pi$
Сократим обе части уравнения на $\frac{\pi}{3}$:
$4R^3 = 500$
$R^3 = \frac{500}{4}$
$R^3 = 125$
$R = \sqrt[3]{125} = 5 \text{ см}$.

Шаг 2: Нахождение радиуса окружности сечения (r)
Радиус шара $R$, расстояние от центра шара до плоскости сечения $d$ и радиус окружности сечения $r$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является радиус шара $R$, а катетами — расстояние $d$ (по условию $d=3$ см) и радиус сечения $r$.
По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$.
Подставим известные значения:
$5^2 = 3^2 + r^2$
$25 = 9 + r^2$
$r^2 = 25 - 9$
$r^2 = 16$
$r = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Шаг 3: Нахождение длины линии пересечения
Теперь мы можем вычислить длину окружности сечения по формуле $C = 2\pi r$:
$C = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi \text{ см}$.

Ответ: $8\pi \text{ см}$.