Номер 316, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

316. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 6 см. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $AB$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

316. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 6 см. Прямая $m$ лежит в плоскости $ABC$, проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $AB$. Треугольник $ABC$ вращается вокруг прямой $m$. Найдите объём тела вращения.

Для решения данной задачи воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина, согласно которой объём тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, которую описывает центр масс этой фигуры. Формула имеет вид:

$V = 2 \pi r_c S$

где $S$ — площадь треугольника, а $r_c$ — расстояние от центра масс треугольника до оси вращения $m$.

1. Найдём площадь равностороннего треугольника S
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$По условию, сторона треугольника $a = 6$ см. Подставляем это значение в формулу:$S = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

2. Найдём расстояние $r_c$ от центра масс треугольника до оси вращения
Введём прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0, 0)$. Поскольку ось вращения $m$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $AB$, мы можем направить ось вращения $m$ вдоль оси $Oy$, а прямую $AB$ — вдоль оси $Ox$.В этой системе координат вершины треугольника будут иметь следующие координаты:Вершина $A$: $(0, 0)$.Вершина $B$: $(6, 0)$.Найдём координаты вершины $C(x_C, y_C)$. Абсцисса точки $C$ будет равна половине длины основания $AB$, так как в равностороннем треугольнике высота является и медианой.$x_C = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$.Ордината точки $C$ будет равна высоте треугольника $h$:$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.Таким образом, координаты вершины $C$ равны $(3, 3\sqrt{3})$.

Центр масс (или центроид) треугольника $G(x_G, y_G)$ — это точка пересечения его медиан. Координаты центроида вычисляются как среднее арифметическое координат вершин треугольника:$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{0 + 6 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3$.$y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{0 + 0 + 3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.Итак, центр масс $G$ имеет координаты $(3, \sqrt{3})$.

Ось вращения $m$ совпадает с осью $Oy$ (уравнение $x=0$). Расстояние $r_c$ от центра масс $G(3, \sqrt{3})$ до оси вращения равно модулю абсциссы этой точки:$r_c = |x_G| = 3$ см.

3. Вычислим объём тела вращения V
Теперь, зная площадь $S = 9\sqrt{3}$ см² и расстояние $r_c = 3$ см, мы можем вычислить объём тела вращения по теореме Паппа-Гульдина:$V = 2 \pi r_c S = 2 \pi \cdot 3 \cdot 9\sqrt{3} = 54\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $54\pi\sqrt{3}$ см³.