Номер 311, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

311. Отрезки SA, SB и SC — образующие конуса. Известно, что $ \angle ASB = \angle ASC = \angle BSC = \alpha, AB = a $. Найдите объём конуса.

311. Отрезки $SA$, $SB$ и $SC$ — образующие конуса. Известно, что $\angle ASB = \angle ASC = \angle BSC = \alpha$, $AB = a$. Найдите объём конуса.

Пусть $S$ - вершина конуса, а точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности его основания. Отрезки $SA$, $SB$ и $SC$ являются образующими конуса. По определению, все образующие конуса равны. Обозначим их длину через $L$, то есть $SA = SB = SC = L$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ASB$, $\triangle ASC$ и $\triangle BSC$. Поскольку $SA = SB = SC = L$ и, по условию, $\angle ASB = \angle ASC = \angle BSC = \alpha$, эти три треугольника равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их оснований: $AB = AC = BC$. Так как по условию $AB = a$, то и $AC = BC = a$. Это означает, что в основание конуса вписан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$.

Для нахождения объёма конуса $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$ необходимо найти радиус основания $R$ и высоту конуса $H$.

Найдем сначала длину образующей $L$. Из равнобедренного треугольника $\triangle ASB$ по теореме косинусов имеем: $a^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L^2 \cdot \cos(\alpha) = 2L^2(1 - \cos\alpha)$. Отсюда выразим квадрат образующей: $L^2 = \frac{a^2}{2(1 - \cos\alpha)}$.

Радиус $R$ основания конуса является радиусом окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a$. Радиус такой окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, следовательно, $R^2 = \frac{a^2}{3}$.

Высота конуса $H$, радиус $R$ и образующая $L$ связаны по теореме Пифагора: $H^2 = L^2 - R^2$. Подставим найденные выражения для $L^2$ и $R^2$: $H^2 = \frac{a^2}{2(1 - \cos\alpha)} - \frac{a^2}{3} = a^2 \left( \frac{3 - 2(1 - \cos\alpha)}{6(1 - \cos\alpha)} \right) = a^2 \frac{1 + 2\cos\alpha}{6(1 - \cos\alpha)}$. Тогда высота $H = a \sqrt{\frac{1 + 2\cos\alpha}{6(1 - \cos\alpha)}}$.

Теперь можем вычислить объём конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2}{3}\right) \left( a \sqrt{\frac{1 + 2\cos\alpha}{6(1 - \cos\alpha)}} \right)$. Упростив выражение, получаем: $V = \frac{\pi a^3}{9} \sqrt{\frac{1 + 2\cos\alpha}{6(1 - \cos\alpha)}}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{9} \sqrt{\frac{1 + 2\cos\alpha}{6(1 - \cos\alpha)}}$.