Номер 305, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

305. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите объём тела вращения.

305. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите объём тела вращения.

Пусть стороны треугольника равны $a = 13$ см, $b = 20$ см и $c = 21$ см. Наибольшая сторона — $c = 21$ см. Вращение треугольника происходит вокруг этой стороны.

Тело, полученное в результате вращения, состоит из двух конусов, имеющих общее основание. Радиус этого основания $R$ равен высоте треугольника $h_c$, проведенной к наибольшей стороне. Сумма высот этих двух конусов равна длине стороны вращения, то есть $c = 21$ см.

Для нахождения высоты $h_c$ (и, соответственно, радиуса $R$) сначала найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр:$p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:$S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

Площадь треугольника также можно выразить через высоту и основание: $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$. Отсюда найдем высоту $h_c$, которая является радиусом $R$ основания конусов.

$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot R$

$R = \frac{126 \cdot 2}{21} = \frac{252}{21} = 12$ см.

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов $V_1$ и $V_2$:$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2$, где $h_1$ и $h_2$ — высоты конусов.

Можно вынести общий множитель:$V = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2)$.

Так как сумма высот конусов $h_1 + h_2$ равна длине стороны вращения $c$, то $h_1 + h_2 = 21$ см.

Подставим известные значения и вычислим объем:$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 21 = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 21 = \pi \cdot 144 \cdot \frac{21}{3} = \pi \cdot 144 \cdot 7 = 1008\pi$ см$^3$.

Ответ: $1008\pi$ см$^3$.