Номер 310, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

310. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

310. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углом $\alpha$ при основании. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\varphi$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для нахождения объема вписанного конуса необходимо определить его радиус основания $R$ и высоту $H$. Формула объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Конус вписан в пирамиду, это означает, что его основание (окружность) вписано в основание пирамиды (равнобедренный треугольник), а вершина совпадает с вершиной пирамиды. Высота конуса равна высоте пирамиды.

По условию, все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны $\phi$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания. Таким образом, радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, а высота конуса $H$ равна высоте пирамиды.

1. Нахождение радиуса $R$ основания конуса.
Радиус $R$ окружности, вписанной в треугольник, находится по формуле $R = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Рассмотрим основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием $m$ и углами при основании $\alpha$.

Проведем высоту к основанию $m$. Эта высота делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Длина высоты треугольника $h_{тр}$ равна: $h_{тр} = \frac{m}{2} \tan \alpha$.

Площадь основания $S$: $S = \frac{1}{2} \cdot m \cdot h_{тр} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \frac{m}{2} \tan \alpha = \frac{m^2}{4} \tan \alpha$.

Найдем длину боковой стороны треугольника $b$. Из того же прямоугольного треугольника: $\cos \alpha = \frac{m/2}{b}$, откуда $b = \frac{m}{2 \cos \alpha}$.

Полупериметр $p$: $p = \frac{m + b + b}{2} = \frac{m + 2 \cdot \frac{m}{2 \cos \alpha}}{2} = \frac{m(1 + \frac{1}{\cos \alpha})}{2} = \frac{m(1 + \cos \alpha)}{2 \cos \alpha}$.

Теперь найдем радиус $R$: $R = \frac{S}{p} = \frac{\frac{m^2}{4} \tan \alpha}{\frac{m(1 + \cos \alpha)}{2 \cos \alpha}} = \frac{m^2 \tan \alpha \cdot 2 \cos \alpha}{4m(1 + \cos \alpha)} = \frac{m \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha}{2(1 + \cos \alpha)} = \frac{m \sin \alpha}{2(1 + \cos \alpha)}$.

Применим формулы половинного угла: $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$. $R = \frac{m \cdot 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m \sin(\frac{\alpha}{2})}{2 \cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{m}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

2. Нахождение высоты $H$ конуса.
Высота пирамиды $H$ падает в центр вписанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $R$ (как катетами) и апофемой боковой грани (как гипотенузой). Угол между радиусом $R$ и апофемой — это линейный угол двугранного угла при ребре основания, и он равен $\phi$.

Из этого треугольника имеем соотношение: $\tan \phi = \frac{H}{R}$.

Отсюда высота $H$: $H = R \tan \phi = \frac{m}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi$.

3. Вычисление объема конуса.
Подставим найденные значения $R$ и $H$ в формулу объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{m}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \left(\frac{m}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi\right)$.

$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{m^2}{4} \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \left(\frac{m}{2} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi\right) = \frac{1}{3}\pi \frac{m^3}{8} \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi$.

$V = \frac{\pi m^3}{24} \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi$.

Ответ: $V = \frac{\pi m^3}{24} \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan \phi$.