Номер 303, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

303. В основании конуса проведена хорда, равная радиусу основания и удалённая от центра основания конуса на 12 см. Через вершину конуса и эту хорду проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём конуса.

303. В основании конуса проведена хорда, равная радиусу основания и удалённая от центра основания конуса на 12 см. Через вершину конуса и эту хорду проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём конуса.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. Центр основания обозначим как $O$, а вершину конуса — как $S$. В основании проведена хорда $AB$. По условию, длина хорды равна радиусу основания, то есть $AB = R$. Расстояние от центра основания $O$ до хорды $AB$ равно 12 см. Это расстояние является длиной перпендикуляра $OM$, опущенного из центра $O$ на хорду $AB$. Таким образом, $OM = 12$ см и $OM \perp AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAM$ в плоскости основания. Так как $OM \perp AB$, этот треугольник является прямоугольным. Катет $OM = 12$ см. Гипотенуза $OA$ является радиусом основания, $OA = R$. Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит ее пополам, поэтому катет $AM = \frac{AB}{2} = \frac{R}{2}$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle OAM$:$
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$R^2 = 12^2 + (\frac{R}{2})^2$
$R^2 = 144 + \frac{R^2}{4}$
$R^2 - \frac{R^2}{4} = 144$
$\frac{3R^2}{4} = 144$
$R^2 = \frac{144 \cdot 4}{3} = 48 \cdot 4 = 192$
Таким образом, радиус основания $R = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Через вершину конуса $S$ и хорду $AB$ проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания угол 60°. Сечением конуса этой плоскостью является равнобедренный треугольник $\triangle SAB$ (так как $SA=SB$ — образующие конуса). Угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания — это двугранный угол, который измеряется линейным углом.

Линейный угол двугранного угла строится с помощью перпендикуляров, проведенных к линии пересечения плоскостей (хорде $AB$) в одной точке. В плоскости основания у нас есть $OM \perp AB$. В плоскости сечения высота (а также медиана) $SM$ треугольника $\triangle SAB$ перпендикулярна основанию $AB$, то есть $SM \perp AB$. Следовательно, линейным углом является угол $\angle SMO$, и по условию $\angle SMO = 60°$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. Он прямоугольный, так как высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, включая $OM$. То есть $\angle SOM = 90°$. В этом треугольнике нам известен катет $OM = 12$ см и угол $\angle SMO = 60°$. Найдем второй катет $SO$, который является высотой конуса $H$.

Используя определение тангенса в прямоугольном треугольнике, получаем:
$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM}$
$H = SO = OM \cdot \tan(60°) = 12 \cdot \sqrt{3}$.
Таким образом, высота конуса равна $12\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти объем конуса по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Мы уже нашли, что $R^2 = 192$ и $H = 12\sqrt{3}$ см. Подставим эти значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 192 \cdot 12\sqrt{3}$
$V = \pi \cdot 64 \cdot 12\sqrt{3}$
$V = 768\pi\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $768\pi\sqrt{3}$ см$^3$.