Номер 299, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а прилежащий к нему угол — $45^\circ$. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

299. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а прилежащий к нему угол — $45^\circ$. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. По условию, один из катетов равен 8 см, пусть $a = 8$ см. Прилежащий к нему острый угол равен $45°$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. Если один острый угол равен $45°$, то второй острый угол также равен $90° - 45° = 45°$.

Поскольку оба острых угла треугольника равны $45°$, этот треугольник является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны между собой. Следовательно, второй катет $b$ также равен 8 см.

Тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей один из его катетов, представляет собой конус. В данном случае вращение происходит вокруг катета длиной 8 см.

Таким образом, мы получаем конус, у которого:
- высота $h$ равна длине катета, вокруг которого происходит вращение, то есть $h = 8$ см.
- радиус основания $r$ равен длине второго катета, то есть $r = 8$ см.

Объем конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим значения $r = 8$ см и $h = 8$ см в формулу: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 8 = \frac{512\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{512\pi}{3}$ см$^3$.