Номер 292, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону основания, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

292. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с углом $\alpha$ при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону основания, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите объём цилиндра, описанного около призмы.

Для нахождения объёма цилиндра, описанного около призмы, используется формула $V = \pi R^2 H$, где $R$ — это радиус основания цилиндра (который равен радиусу окружности, описанной около основания призмы), а $H$ — это высота цилиндра (которая равна высоте призмы).

1. Найдём высоту призмы $H$ и боковую сторону $b$ треугольника в основании.По условию, призма прямая, значит её боковые рёбра перпендикулярны основанию. Диагональ боковой грани, содержащей боковую сторону основания, равна $d$ и наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Эта диагональ, высота призмы $H$ и боковая сторона $b$ треугольника образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $d$ — гипотенуза, $H$ — катет, противолежащий углу $\beta$, а $b$ — катет, прилежащий к углу $\beta$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$H = d \sin \beta$

$b = d \cos \beta$

2. Найдём радиус $R$ окружности, описанной около треугольника в основании.Основание призмы — равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом при основании $\alpha$. Угол, противолежащий боковой стороне $b$, равен $\alpha$. По следствию из теоремы синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{b}{\sin \alpha} = 2R$

Выразим радиус $R$ и подставим найденное ранее значение для $b$:

$R = \frac{b}{2 \sin \alpha} = \frac{d \cos \beta}{2 \sin \alpha}$

3. Вычислим объём цилиндра $V$.Подставим найденные выражения для $H$ и $R$ в формулу объёма цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi \left( \frac{d \cos \beta}{2 \sin \alpha} \right)^2 (d \sin \beta) = \pi \frac{d^2 \cos^2 \beta}{4 \sin^2 \alpha} \cdot d \sin \beta = \frac{\pi d^3 \cos^2 \beta \sin \beta}{4 \sin^2 \alpha}$

Ответ: $\frac{\pi d^3 \cos^2 \beta \sin \beta}{4 \sin^2 \alpha}$