Номер 291, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

291. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 10 см и 24 см, а его диагональ наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите объём цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

291. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 10 см и 24 см, а его диагональ наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите объём цилиндра, описанного около данного параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a = 10$ см и $b = 24$ см.

1. Найдем диагональ основания параллелепипеда.
Основание параллелепипеда — это прямоугольник. Его диагональ $d$ можно найти по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда.
Диагональ параллелепипеда $D$, его высота $h$ и диагональ основания $d$ образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания — это угол между $D$ и $d$. По условию, этот угол равен $45^\circ$.
В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\text{tg}(45^\circ) = \frac{h}{d}$
Поскольку $\text{tg}(45^\circ) = 1$, то $h = d$.
Следовательно, высота параллелепипеда $h = 26$ см.

3. Найдем параметры описанного цилиндра.
Цилиндр описан около параллелепипеда. Это значит, что высота цилиндра $H$ равна высоте параллелепипеда $h$, а основание цилиндра — это круг, описанный около основания параллелепипеда.
Высота цилиндра: $H = h = 26$ см.
Диаметр основания цилиндра равен диагонали основания параллелепипеда $d$. Тогда радиус основания цилиндра $R$ равен:
$R = \frac{d}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

4. Найдем объём цилиндра.
Объём цилиндра $V$ вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$.
Подставим найденные значения $R$ и $H$:
$V = \pi \cdot 13^2 \cdot 26 = \pi \cdot 169 \cdot 26 = 4394\pi$ см$^3$.

Ответ: $4394\pi$ см$^3$.