Номер 289, страница 35 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

289. Объём цилиндра равен $V$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

289. Объём цилиндра равен $V$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, $H$ — его высота. Тогда объём цилиндра $V$ вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 H$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D = 2R$. Площадь этого сечения $S_{сеч}$ равна:

$S_{сеч} = D \cdot H = 2R \cdot H$

Диагональ осевого сечения, его сторона $D$ (диаметр основания) и сторона $H$ (высота цилиндра) образуют прямоугольный треугольник. Угол $\gamma$ между диагональю и плоскостью основания — это угол между диагональю и её проекцией на эту плоскость, то есть диаметром $D$.

Из этого прямоугольного треугольника можно выразить тангенс угла $\gamma$:

$\tan \gamma = \frac{H}{D}$

Отсюда выразим высоту $H$ через диаметр $D$ и угол $\gamma$:

$H = D \tan \gamma$

Теперь подставим это выражение для $H$ в формулу для площади осевого сечения:

$S_{сеч} = D \cdot (D \tan \gamma) = D^2 \tan \gamma$

Теперь выразим объём цилиндра через $D$ и $\gamma$. Учитывая, что $R = D/2$:

$V = \pi (\frac{D}{2})^2 H = \frac{\pi D^2}{4} H$

Подставим в эту формулу выражение $H = D \tan \gamma$:

$V = \frac{\pi D^2}{4} (D \tan \gamma) = \frac{\pi D^3 \tan \gamma}{4}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений, связывающая искомое $S_{сеч}$ и данное $V$ через промежуточную переменную $D$:

1) $S_{сеч} = D^2 \tan \gamma$

2) $V = \frac{\pi D^3 \tan \gamma}{4}$

Возведём первое уравнение в степень $3$, а второе в степень $2$, чтобы получить $D^6$ в обоих выражениях:

$S_{сеч}^3 = (D^2 \tan \gamma)^3 = D^6 \tan^3 \gamma$

$V^2 = (\frac{\pi D^3 \tan \gamma}{4})^2 = \frac{\pi^2 D^6 \tan^2 \gamma}{16}$

Из второго выражения выразим $D^6$:

$D^6 = \frac{16 V^2}{\pi^2 \tan^2 \gamma}$

Подставим это в первое выражение:

$S_{сеч}^3 = (\frac{16 V^2}{\pi^2 \tan^2 \gamma}) \cdot \tan^3 \gamma = \frac{16 V^2 \tan \gamma}{\pi^2}$

Теперь извлечём кубический корень из обеих частей, чтобы найти $S_{сеч}$:

$S_{сеч} = \sqrt[3]{\frac{16 V^2 \tan \gamma}{\pi^2}}$

Ответ: $S_{сеч} = \sqrt[3]{\frac{16 V^2 \tan \gamma}{\pi^2}}$