Номер 282, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

282. Радиус основания цилиндра равен 3 см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объём цилиндра.

282. Радиус основания цилиндра равен $3 \text{ см}$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^{\circ}$. Найдите объём цилиндра.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot H = \pi R^2 H$,

где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

Из условия задачи нам известно, что радиус основания $R = 3$ см.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания $D$ и высоте цилиндра $H$. Диагональ этого прямоугольника, его сторона $D$ (которая лежит в плоскости основания) и сторона $H$ (которая перпендикулярна плоскости основания) образуют прямоугольный треугольник.

Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания — это угол между этой диагональю и ее проекцией на плоскость основания, которой является диаметр $D$. По условию, этот угол равен $60°$.

Найдем диаметр основания цилиндра:

$D = 2R = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$ (катет), диаметром $D$ (катет) и диагональю осевого сечения (гипотенуза). В этом треугольнике мы можем найти высоту $H$ через тангенс угла $60°$:

$\tan(60°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{H}{D}$

Отсюда выражаем и вычисляем высоту $H$:

$H = D \cdot \tan(60°) = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус и высоту, можем вычислить объём цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot (3)^2 \cdot (6\sqrt{3}) = \pi \cdot 9 \cdot 6\sqrt{3} = 54\pi\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $54\pi\sqrt{3}$ см³.