Номер 279, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

279. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 4 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

279. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см. Плоскость, проходящая параллельно основанию пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду, стороны оснований которой равны 6 см и 4 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Пусть дана исходная правильная четырёхугольная пирамида. По условию, её высота $H = 3$ см. Плоскость, параллельная основанию, отсекает усечённую пирамиду. Это означает, что большее основание усечённой пирамиды является основанием исходной пирамиды, а меньшее основание — сечением.

Обозначим сторону большего основания (основания исходной пирамиды) как $a_1 = 6$ см, а сторону меньшего основания как $a_2 = 4$ см.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:$V_{усеч} = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$,где $h$ — высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

Для использования этой формулы нам необходимо найти высоту усечённой пирамиды $h$.

Отсекающая плоскость делит исходную пирамиду на две части: усечённую пирамиду и меньшую пирамиду наверху, которая подобна исходной. Найдём высоту этой меньшей пирамиды.Коэффициент подобия $k$ двух пирамид равен отношению длин соответствующих сторон их оснований:$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Отношение высот подобных пирамид также равно коэффициенту подобия. Пусть $H_{мал}$ — высота меньшей (отсечённой) пирамиды, а $H = 3$ см — высота исходной (большой) пирамиды.$\frac{H_{мал}}{H} = k$$H_{мал} = H \cdot k = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$ см.

Высота усечённой пирамиды $h$ — это разность высоты исходной пирамиды и высоты меньшей пирамиды:$h = H - H_{мал} = 3 - 2 = 1$ см.

Теперь найдём площади оснований. Поскольку пирамида правильная четырёхугольная, её основания являются квадратами.Площадь большего основания: $S_1 = a_1^2 = 6^2 = 36$ см$^2$.Площадь меньшего основания: $S_2 = a_2^2 = 4^2 = 16$ см$^2$.

Подставим все найденные значения в формулу для объёма усечённой пирамиды:$V_{усеч} = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (36 + \sqrt{36 \cdot 16} + 16)$.$V_{усеч} = \frac{1}{3} (52 + \sqrt{576})$.Так как $\sqrt{576} = 24$, получаем:$V_{усеч} = \frac{1}{3} (52 + 24) = \frac{1}{3} \cdot 76 = \frac{76}{3}$ см$^3$.

Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $25\frac{1}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{76}{3}$ см$^3$.