Номер 274, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

274. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой $s$ и острым углом $\alpha$. Боковая грань пирамиды, содержащая катет, прилежащий к данному углу, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани образуют с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём пирамиды.

274. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Боковая грань пирамиды, содержащая катет, прилежащий к данному углу, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани образуют с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Обозначим его вершины как $A$, $B$, $C$, где $\angle C = 90^\circ$. Гипотенуза $AB = c$, и один из острых углов, пусть $\angle A = \alpha$.

Тогда катеты треугольника равны:

Прилежащий к углу $\alpha$ катет: $AC = c \cos \alpha$.

Противолежащий углу $\alpha$ катет: $BC = c \sin \alpha$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} (c \cos \alpha)(c \sin \alpha) = \frac{1}{2} c^2 \sin \alpha \cos \alpha$.

2. Нахождение высоты пирамиды

Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, боковая грань, содержащая катет, прилежащий к углу $\alpha$ (то есть катет $AC$), перпендикулярна плоскости основания. Это грань $SAC$.

Если плоскость $(SAC)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$, то высота пирамиды $H$, опущенная из вершины $S$, лежит в плоскости $(SAC)$ и падает на линию их пересечения, то есть на катет $AC$. Обозначим основание высоты как точку $D$ на отрезке $AC$. Таким образом, $SD = H$ и $SD \perp (ABC)$.

Две другие грани, $SBC$ и $SAB$, образуют с плоскостью основания угол $\beta$.

Угол между гранью $SBC$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол при ребре $BC$. Так как $AC \perp BC$ (в основании) и $SD$ — перпендикуляр к плоскости основания, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $SC$ перпендикулярна ребру $BC$ ($SC \perp BC$). Следовательно, $\angle SCD$ является линейным углом этого двугранного угла, и $\angle SCD = \beta$.

Угол между гранью $SAB$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол при ребре $AB$. Чтобы найти его линейный угол, опустим из точки $D$ перпендикуляр $DE$ на гипотенузу $AB$ ($DE \perp AB$). По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SE$ также будет перпендикулярна $AB$ ($SE \perp AB$). Следовательно, $\angle SED$ является линейным углом этого двугранного угла, и $\angle SED = \beta$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SDC$ и $\triangle SDE$. У них общий катет $SD = H$.

Из $\triangle SDC$: $\tan \beta = \frac{SD}{DC} \implies H = DC \tan \beta$.

Из $\triangle SDE$: $\tan \beta = \frac{SD}{DE} \implies H = DE \tan \beta$.

Отсюда следует, что $DC = DE$. Точка $D$ на катете $AC$ равноудалена от сторон $BC$ и $AB$.

Расстояние от точки $D \in AC$ до прямой $BC$ равно длине отрезка $DC$, так как $AC \perp BC$.

Расстояние от точки $D \in AC$ до прямой $AB$ равно длине перпендикуляра $DE$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADE$ (с прямым углом $E$), $\angle DAE = \alpha$. Поэтому $DE = AD \sin \alpha$.

Получаем равенство: $DC = AD \sin \alpha$.

При этом точки $A$, $D$, $C$ лежат на одной прямой, поэтому $AD + DC = AC = c \cos \alpha$.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} DC = AD \sin \alpha \\ AD + DC = c \cos \alpha \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$AD + AD \sin \alpha = c \cos \alpha$

$AD(1 + \sin \alpha) = c \cos \alpha \implies AD = \frac{c \cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$

Тогда $DC = AD \sin \alpha = \frac{c \sin \alpha \cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = DC \tan \beta = \frac{c \sin \alpha \cos \alpha \tan \beta}{1 + \sin \alpha}$.

3. Вычисление объема пирамиды

Подставим выражения для $S_{осн}$ и $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} c^2 \sin \alpha \cos \alpha \right) \left( \frac{c \sin \alpha \cos \alpha \tan \beta}{1 + \sin \alpha} \right)$

$V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \tan \beta}{6(1 + \sin \alpha)}$

Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)$.

$V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) \tan \beta}{6(1 + \sin \alpha)}$

Сократим дробь на $(1 + \sin \alpha)$:

$V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha (1 - \sin \alpha) \tan \beta}{6}$

Ответ: $V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha (1 - \sin \alpha) \tan \beta}{6}$.