Страница 33 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

271. Грани $DAB$ и $DAC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, а расстояние от вершины $D$ до прямой $BC$ равно $4\sqrt{10}$ см.

271. Грани $DAB$ и $DAC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, а расстояние от вершины $D$ до прямой $BC$ равно $4\sqrt{10}$ см.

По условию, грани $DAB$ и $DAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то их линия пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения плоскостей $DAB$ и $DAC$ является ребро $DA$. Следовательно, ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ и является высотой пирамиды $DABC$.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. В нашем случае $S_{осн} = S_{ABC}$ и $H = DA$.

Сначала найдем площадь основания — треугольника $ABC$ — по формуле Герона, так как известны длины всех его сторон: $a = BC = 14$ см, $b = AC = 15$ см, $c = AB = 13$ см.Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{14 + 15 + 13}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
Теперь найдем площадь треугольника:
$S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{7056} = 84$ см².

Далее найдем высоту пирамиды $DA$. По условию, расстояние от вершины $D$ до прямой $BC$ равно $4\sqrt{10}$ см. Пусть $K$ — точка на прямой $BC$, такая что $DK \perp BC$. Тогда длина отрезка $DK = 4\sqrt{10}$ см.
Рассмотрим отрезок $AK$. Так как $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $DK$ — наклонная к этой плоскости, а $AK$ — ее проекция. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DK$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и ее проекция ($AK$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AK \perp BC$, и $AK$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$.
Длину высоты $AK$ можно найти, используя площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK \implies AK = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{14} = 12$ см.
Так как $DA$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $DA$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$, в том числе и $AK$. Следовательно, треугольник $DAK$ — прямоугольный с прямым углом $A$. По теореме Пифагора:
$DA^2 + AK^2 = DK^2$
$DA^2 = DK^2 - AK^2 = (4\sqrt{10})^2 - 12^2 = 16 \cdot 10 - 144 = 160 - 144 = 16$
$DA = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь мы можем вычислить объём пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot DA = \frac{1}{3} \cdot 84 \cdot 4 = 28 \cdot 4 = 112$ см³.

Ответ: $112$ см³.

272. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle BAC = \alpha$. Грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а грань $DBC$ наклонена к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

272. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle BAC = \alpha$. Грани $DAC$ и $DAB$ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а грань $DBC$ наклонена к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

1. Анализ условия и определение высоты пирамиды

По условию, грани DAC и DAB перпендикулярны плоскости основания ABC. Если две плоскости, пересекающиеся по прямой, перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости. Грани DAC и DAB пересекаются по ребру DA. Следовательно, ребро DA перпендикулярно плоскости основания (ABC), а значит, DA является высотой пирамиды. Обозначим $H = DA$.

2. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник ABC, в котором $\angle ACB = 90^\circ$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$.

Нам дано $BC = a$ и $\angle BAC = \alpha$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике ABC найдем катет AC:

$\tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} \Rightarrow AC = \frac{BC}{\tan(\alpha)} = a \cdot \cot(\alpha)$.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (a \cdot \cot(\alpha)) \cdot a = \frac{1}{2}a^2\cot(\alpha)$.

3. Нахождение высоты пирамиды

По условию, грань DBC наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Угол между двумя плоскостями (двугранный угол) измеряется линейным углом, который образован двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей из одной точки.

Линия пересечения плоскостей (DBC) и (ABC) — это прямая BC.

В плоскости основания (ABC) у нас есть перпендикуляр к BC — это катет AC, так как $\angle ACB = 90^\circ$.

DA — перпендикуляр к плоскости (ABC), AC — проекция наклонной DC на эту плоскость. Так как проекция AC перпендикулярна прямой BC, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная DC перпендикулярна BC ($DC \perp BC$).

Таким образом, линейным углом двугранного угла между плоскостями (DBC) и (ABC) является угол $\angle DCA$. По условию, $\angle DCA = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DAC (угол $\angle DAC = 90^\circ$, так как DA — высота). Из этого треугольника найдем высоту $H = DA$:

$\tan(\angle DCA) = \frac{DA}{AC} \Rightarrow \tan(\beta) = \frac{H}{AC}$.

Отсюда $H = AC \cdot \tan(\beta)$. Подставим ранее найденное значение AC:

$H = (a \cdot \cot(\alpha)) \cdot \tan(\beta) = a \cot(\alpha) \tan(\beta)$.

4. Вычисление объёма пирамиды

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{base} \cdot H$. Подставим найденные значения площади основания $S_{ABC}$ и высоты $H$:

$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2\cot(\alpha)\right) \cdot \left(a \cot(\alpha) \tan(\beta)\right)$

$V = \frac{1}{6}a^3\cot^2(\alpha)\tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{6}a^3\cot^2(\alpha)\tan(\beta)$.

273. Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом $a$. Боковая грань, содержащая один из катетов, перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником. Найдите объём пирамиды.

273. Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом $a$. Боковая грань, содержащая один из катетов, перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания.

Основанием пирамиды является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом $a$. Площадь такого треугольника равна половине произведения его катетов.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$

2. Найдём высоту пирамиды.

По условию, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Пусть основание пирамиды — это $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$, и катетами $AC = BC = a$. Пусть боковая грань, содержащая катет $AC$, перпендикулярна плоскости основания. Обозначим вершину пирамиды как $S$. Таким образом, грань $\triangle SAC$ перпендикулярна плоскости основания $\triangle ABC$.

Также по условию, грань $\triangle SAC$ является правильным треугольником. Поскольку одна из его сторон, $AC$, равна $a$, то все его стороны равны $a$: $SA = SC = AC = a$.

Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины $S$ на плоскость основания $(ABC)$. Так как плоскость $(SAC)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, высота пирамиды будет являться высотой треугольника $\triangle SAC$, проведённой из вершины $S$ к стороне $AC$ (линии пересечения плоскостей).

Найдём высоту правильного треугольника $\triangle SAC$ со стороной $a$. Формула высоты правильного треугольника: $h = \frac{\text{сторона} \cdot \sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, высота пирамиды $H$ равна:

$H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

3. Вычислим объём пирамиды.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объём пирамиды, подставив найденные значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$V = \frac{a^3\sqrt{3}}{3 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

274. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой $s$ и острым углом $\alpha$. Боковая грань пирамиды, содержащая катет, прилежащий к данному углу, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани образуют с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём пирамиды.

274. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Боковая грань пирамиды, содержащая катет, прилежащий к данному углу, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани образуют с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник. Обозначим его вершины как $A$, $B$, $C$, где $\angle C = 90^\circ$. Гипотенуза $AB = c$, и один из острых углов, пусть $\angle A = \alpha$.

Тогда катеты треугольника равны:

Прилежащий к углу $\alpha$ катет: $AC = c \cos \alpha$.

Противолежащий углу $\alpha$ катет: $BC = c \sin \alpha$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} (c \cos \alpha)(c \sin \alpha) = \frac{1}{2} c^2 \sin \alpha \cos \alpha$.

2. Нахождение высоты пирамиды

Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, боковая грань, содержащая катет, прилежащий к углу $\alpha$ (то есть катет $AC$), перпендикулярна плоскости основания. Это грань $SAC$.

Если плоскость $(SAC)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$, то высота пирамиды $H$, опущенная из вершины $S$, лежит в плоскости $(SAC)$ и падает на линию их пересечения, то есть на катет $AC$. Обозначим основание высоты как точку $D$ на отрезке $AC$. Таким образом, $SD = H$ и $SD \perp (ABC)$.

Две другие грани, $SBC$ и $SAB$, образуют с плоскостью основания угол $\beta$.

Угол между гранью $SBC$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол при ребре $BC$. Так как $AC \perp BC$ (в основании) и $SD$ — перпендикуляр к плоскости основания, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $SC$ перпендикулярна ребру $BC$ ($SC \perp BC$). Следовательно, $\angle SCD$ является линейным углом этого двугранного угла, и $\angle SCD = \beta$.

Угол между гранью $SAB$ и плоскостью основания $ABC$ — это двугранный угол при ребре $AB$. Чтобы найти его линейный угол, опустим из точки $D$ перпендикуляр $DE$ на гипотенузу $AB$ ($DE \perp AB$). По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SE$ также будет перпендикулярна $AB$ ($SE \perp AB$). Следовательно, $\angle SED$ является линейным углом этого двугранного угла, и $\angle SED = \beta$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SDC$ и $\triangle SDE$. У них общий катет $SD = H$.

Из $\triangle SDC$: $\tan \beta = \frac{SD}{DC} \implies H = DC \tan \beta$.

Из $\triangle SDE$: $\tan \beta = \frac{SD}{DE} \implies H = DE \tan \beta$.

Отсюда следует, что $DC = DE$. Точка $D$ на катете $AC$ равноудалена от сторон $BC$ и $AB$.

Расстояние от точки $D \in AC$ до прямой $BC$ равно длине отрезка $DC$, так как $AC \perp BC$.

Расстояние от точки $D \in AC$ до прямой $AB$ равно длине перпендикуляра $DE$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADE$ (с прямым углом $E$), $\angle DAE = \alpha$. Поэтому $DE = AD \sin \alpha$.

Получаем равенство: $DC = AD \sin \alpha$.

При этом точки $A$, $D$, $C$ лежат на одной прямой, поэтому $AD + DC = AC = c \cos \alpha$.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} DC = AD \sin \alpha \\ AD + DC = c \cos \alpha \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$AD + AD \sin \alpha = c \cos \alpha$

$AD(1 + \sin \alpha) = c \cos \alpha \implies AD = \frac{c \cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$

Тогда $DC = AD \sin \alpha = \frac{c \sin \alpha \cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$.

Теперь можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = DC \tan \beta = \frac{c \sin \alpha \cos \alpha \tan \beta}{1 + \sin \alpha}$.

3. Вычисление объема пирамиды

Подставим выражения для $S_{осн}$ и $H$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} c^2 \sin \alpha \cos \alpha \right) \left( \frac{c \sin \alpha \cos \alpha \tan \beta}{1 + \sin \alpha} \right)$

$V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \tan \beta}{6(1 + \sin \alpha)}$

Для упрощения выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)$.

$V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) \tan \beta}{6(1 + \sin \alpha)}$

Сократим дробь на $(1 + \sin \alpha)$:

$V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha (1 - \sin \alpha) \tan \beta}{6}$

Ответ: $V = \frac{c^3 \sin^2 \alpha (1 - \sin \alpha) \tan \beta}{6}$.

275. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 3 см и 5 см, а высота — 4 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

275. Стороны оснований правильной усечённой четырёх-угольной пирамиды равны 3 см и 5 см, а высота — 4 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

В условии задачи дана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Это означает, что её основаниями являются квадраты.

Дано:

• Сторона большего основания: $a_1 = 5$ см.
• Сторона меньшего основания: $a_2 = 3$ см.
• Высота пирамиды: $h = 4$ см.

1. Найдём площадь большего основания $S_1$:

$S_1 = a_1^2 = 5^2 = 25$ см$^2$.

2. Найдём площадь меньшего основания $S_2$:

$S_2 = a_2^2 = 3^2 = 9$ см$^2$.

3. Теперь подставим все известные значения в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (25 + 9 + \sqrt{25 \cdot 9})$

4. Вычислим значение в скобках:

$V = \frac{4}{3} \cdot (25 + 9 + \sqrt{225})$

$V = \frac{4}{3} \cdot (25 + 9 + 15)$

$V = \frac{4}{3} \cdot (34 + 15)$

$V = \frac{4}{3} \cdot 49$

5. Вычислим итоговый объём:

$V = \frac{4 \cdot 49}{3} = \frac{196}{3} = 65\frac{1}{3}$ см$^3$.

Ответ: $65\frac{1}{3}$ см$^3$.

276. Сторона меньшего основания правильной усечённой треугольной пирамиды равна 4 см, а боковое ребро равно 6 см и образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

276. Сторона меньшего основания правильной усечённой треугольной пирамиды равна 4 см, а боковое ребро равно 6 см и образует с плоскостью большего основания угол 60°. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ — высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ — площади большего и меньшего оснований соответственно.

Поскольку пирамида правильная, её основаниями являются равносторонние треугольники. Сторона меньшего основания по условию равна $a_2 = 4$ см. Найдём площадь меньшего основания $S_2$:

$S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

Высоту пирамиды $H$ найдём из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром $l=6$ см (гипотенуза), высотой $H$ (катет) и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $60°$. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу:

$H = l \cdot \sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Чтобы найти площадь большего основания $S_1$, нужно сначала определить длину его стороны $a_1$. Проекция бокового ребра на плоскость большего основания равна разности радиусов $R_1$ и $R_2$ окружностей, описанных около оснований. Длина этой проекции является катетом, прилежащим к углу $60°$:

$R_1 - R_2 = l \cdot \cos(60°) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Для меньшего основания с $a_2=4$ см:

$R_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь найдём радиус описанной окружности большего основания:

$R_1 = R_2 + 3 = \frac{4}{\sqrt{3}} + 3 = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ см.

Зная $R_1$, найдём сторону большего основания $a_1$:

$a_1 = R_1\sqrt{3} = \left(\frac{4 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)\sqrt{3} = 4 + 3\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь большего основания $S_1$:

$S_1 = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 + 3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(16 + 24\sqrt{3} + 27)\sqrt{3}}{4} = \frac{(43 + 24\sqrt{3})\sqrt{3}}{4} = \frac{72 + 43\sqrt{3}}{4}$ см².

Теперь можно вычислить объём. Для этого найдём все компоненты в формуле объёма. Удобно вычислить $\sqrt{S_1 S_2}$, используя подобие оснований: $\sqrt{S_1 S_2} = S_2 \frac{a_1}{a_2}$.

$\sqrt{S_1 S_2} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{4 + 3\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}(4 + 3\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} + 9$ см².

Подставим все найденные значения в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \left( \frac{72 + 43\sqrt{3}}{4} + 4\sqrt{3} + (9 + 4\sqrt{3}) \right)$

$V = \sqrt{3} \left( \frac{72 + 43\sqrt{3}}{4} + 8\sqrt{3} + 9 \right)$

Приведём слагаемые в скобках к общему знаменателю:

$V = \sqrt{3} \left( \frac{72 + 43\sqrt{3} + 32\sqrt{3} + 36}{4} \right) = \sqrt{3} \left( \frac{108 + 75\sqrt{3}}{4} \right)$

Раскроем скобки:

$V = \frac{108\sqrt{3} + 75(\sqrt{3})^2}{4} = \frac{108\sqrt{3} + 75 \cdot 3}{4} = \frac{225 + 108\sqrt{3}}{4}$

$V = \frac{225}{4} + \frac{108\sqrt{3}}{4} = 56.25 + 27\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $56.25 + 27\sqrt{3}$ см³.

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 4 см и 6 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

277. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 4 см и 6 см. Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре большего основания равен $30^\circ$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ – высота усечённой пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

Поскольку усечённая пирамида правильная четырёхугольная, её основаниями являются квадраты. Найдём их площади.

Сторона большего основания $a = 6$ см, тогда его площадь:

$S_1 = a^2 = 6^2 = 36$ см².

Сторона меньшего основания $b = 4$ см, тогда его площадь:

$S_2 = b^2 = 4^2 = 16$ см².

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы (высоты боковых граней). Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, основания которой равны сторонам оснований пирамиды (точнее, их апофемам), а высота равна высоте пирамиды $h$. Однако удобнее рассмотреть сечение, проходящее через середины противоположных сторон оснований. Это сечение также является равнобокой трапецией, основания которой равны сторонам оснований пирамиды ($a=6$ см и $b=4$ см), боковые стороны равны апофемам пирамиды, а высота этой трапеции является высотой пирамиды $h$.

Угол при большем основании этой трапеции равен двугранному углу при ребре большего основания пирамиды, то есть $30^\circ$.

Опустим высоту из вершины меньшего основания трапеции на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, в котором:

• один катет – это высота пирамиды $h$;
• второй катет равен полуразности оснований трапеции: $\frac{a - b}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$ см;
• угол, противолежащий катету $h$, равен $30^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдём высоту $h$:

$\tan(30^\circ) = \frac{h}{\frac{a - b}{2}}$

$h = \frac{a - b}{2} \cdot \tan(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь, когда все компоненты известны, можем вычислить объём усечённой пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} (36 + 16 + \sqrt{36 \cdot 16}) = \frac{\sqrt{3}}{9} (52 + \sqrt{576}) = \frac{\sqrt{3}}{9} (52 + 24) = \frac{\sqrt{3}}{9} \cdot 76 = \frac{76\sqrt{3}}{9}$ см³.

Ответ: $\frac{76\sqrt{3}}{9}$ см³.

278. Объем усеченной пирамиды равен 228 $ \text{см}^3 $, её высота — 12 $ \text{см} $, а площади оснований относятся как $4 : 9$.Найдите площадь меньшего основания.

278. Объем усеченной пирамиды равен 228 см³, ее высота — 12 см, а площади оснований относятся как $4 : 9$. Найдите площадь меньшего основания.

Обозначим объем усеченной пирамиды как $V$, ее высоту как $h$, а площади меньшего и большего оснований как $S_1$ и $S_2$ соответственно. По условию задачи нам дано: $V = 228 \text{ см}^3$, $h = 12 \text{ см}$, и отношение площадей оснований $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9}$.

Формула для вычисления объема усеченной пирамиды имеет вид:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

Из соотношения площадей оснований $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9}$ введем коэффициент пропорциональности $x$. Пусть площадь меньшего основания $S_1 = 4x$, а площадь большего основания $S_2 = 9x$. Наша задача — найти $S_1$.

Подставим известные значения и выражения для площадей в формулу объема:

$228 = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot (4x + 9x + \sqrt{4x \cdot 9x})$

Теперь упростим полученное уравнение, выполняя вычисления по шагам:

$228 = 4 \cdot (13x + \sqrt{36x^2})$

Так как площадь не может быть отрицательной, $x > 0$, и, следовательно, $\sqrt{x^2} = x$.

$228 = 4 \cdot (13x + 6x)$

$228 = 4 \cdot (19x)$

$228 = 76x$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{228}{76} = 3$

Мы ищем площадь меньшего основания, $S_1$. Подставим найденное значение $x$ в выражение для $S_1$:

$S_1 = 4x = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}^2$

Ответ: 12 см².