Страница 40 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Точки $D, E, F$ и $M$ расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 11. Расстояние от каждой из точек $D, E, F$ и $M$ до начала координат равно 5. Найдите координаты этих точек.

Рис. 11

1. Точки $D$, $E$, $F$ и $M$ расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 11. Расстояние от каждой из точек $D$, $E$, $F$ и $M$ до начала координат равно 5. Найдите координаты этих точек.

Рис. 11

Расстояние от точки с координатами $(x, y, z)$ до начала координат O(0, 0, 0) вычисляется по формуле $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. По условию задачи, расстояние от каждой из точек D, E, F и M до начала координат равно 5. Следовательно, для координат каждой из этих точек выполняется равенство $x^2 + y^2 + z^2 = 5^2 = 25$.

Для точки D:
Точка D лежит на положительной части оси Ox, поэтому её координаты y и z равны нулю, а координата x положительна. Координаты точки имеют вид $D(x, 0, 0)$, где $x > 0$.
Подставим в уравнение: $x^2 + 0^2 + 0^2 = 25$, откуда следует $x^2 = 25$.
Так как $x > 0$, то $x = 5$.
Ответ: D(5, 0, 0).

Для точки E:
Точка E лежит на отрицательной части оси Oy, поэтому её координаты x и z равны нулю, а координата y отрицательна. Координаты точки имеют вид $E(0, y, 0)$, где $y < 0$.
Подставим в уравнение: $0^2 + y^2 + 0^2 = 25$, откуда следует $y^2 = 25$.
Так как $y < 0$, то $y = -5$.
Ответ: E(0, -5, 0).

Для точки M:
Точка M лежит на отрицательной части оси Oz, поэтому её координаты x и y равны нулю, а координата z отрицательна. Координаты точки имеют вид $M(0, 0, z)$, где $z < 0$.
Подставим в уравнение: $0^2 + 0^2 + z^2 = 25$, откуда следует $z^2 = 25$.
Так как $z < 0$, то $z = -5$.
Ответ: M(0, 0, -5).

Для точки F:
Точка F лежит в плоскости Oyz, поэтому её координата x равна нулю. Из рисунка видно, что она находится на биссектрисе угла, образованного положительными полуосями Oy и Oz. Это означает, что её координаты y и z равны и положительны. Координаты точки имеют вид $F(0, y, z)$, где $y = z > 0$.
Подставим в уравнение: $0^2 + y^2 + z^2 = 25$.
Заменим $z$ на $y$: $y^2 + y^2 = 25$, что равносильно $2y^2 = 25$.
Отсюда $y^2 = \frac{25}{2}$. Так как $y > 0$, то $y = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку $z=y$, то $z = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: F$(0, \frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2})$.

2. Куб $OABCO_1A_1B_1C_1$ расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 12. Ребро куба равно 6. Найдите координаты вершин куба.

Рис. 12

2. Куб $OABCO_1A_1B_1C_1$ расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 12. Ребро куба равно 6. Найдите координаты вершин куба.

Рис. 12

Согласно условию, куб `OABCO₁A₁B₁C₁` имеет ребро длиной 6. Вершина O совпадает с началом прямоугольной системы координат. Из рисунка видно, что:

• Ребро `OC` лежит на положительной полуоси `Ox`.
• Ребро `OA` лежит на положительной полуоси `Oz`.
• Ребро `OO₁` лежит на отрицательной полуоси `Oy`.

Определим координаты каждой вершины куба.

Вершина O является началом координат.
Ответ: $O(0, 0, 0)$

Вершина A лежит на оси `Oz` на расстоянии 6 от начала координат.
Ответ: $A(0, 0, 6)$

Вершина C лежит на оси `Ox` на расстоянии 6 от начала координат.
Ответ: $C(6, 0, 0)$

Вершина O₁ лежит на оси `Oy` в отрицательном направлении на расстоянии 6 от начала координат.
Ответ: $O₁(0, -6, 0)$

Вершина B является четвертой вершиной квадрата `OABC` в плоскости `xOz` (`y=0`). Её радиус-вектор $\vec{OB}$ равен сумме векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$.
$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC} = (0, 0, 6) + (6, 0, 0) = (6, 0, 6)$.
Ответ: $B(6, 0, 6)$

Вершина A₁ является четвертой вершиной квадрата `OAA₁O₁` в плоскости `yOz` (`x=0`). Её радиус-вектор $\vec{OA₁}$ равен сумме векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OO₁}$.
$\vec{OA₁} = \vec{OA} + \vec{OO₁} = (0, 0, 6) + (0, -6, 0) = (0, -6, 6)$.
Ответ: $A₁(0, -6, 6)$

Вершина C₁ является четвертой вершиной квадрата `OCC₁O₁` в плоскости `xOy` (`z=0`). Её радиус-вектор $\vec{OC₁}$ равен сумме векторов $\vec{OC}$ и $\vec{OO₁}$.
$\vec{OC₁} = \vec{OC} + \vec{OO₁} = (6, 0, 0) + (0, -6, 0) = (6, -6, 0)$.
Ответ: $C₁(6, -6, 0)$

Вершина B₁ является вершиной, противоположной вершине O. Её радиус-вектор $\vec{OB₁}$ равен сумме векторов трех ребер, выходящих из начала координат: $\vec{OA}$, $\vec{OC}$ и $\vec{OO₁}$.
$\vec{OB₁} = \vec{OA} + \vec{OC} + \vec{OO₁} = (0, 0, 6) + (6, 0, 0) + (0, -6, 0) = (6, -6, 6)$.
Ответ: $B₁(6, -6, 6)$

3. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси, и в случае утвердительного ответа укажите эту ось:

1) A $ (3; -2; 0) $;

2) B $ (2; 0; -3) $;

3) C $ (-2; 0; 0) $;

4) D $ (0; 1; 0) $;

5) E $ (0; 0; -8) $;

6) F $ (-4; 0; 0) $.

3. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси, и в случае утвердительного ответа укажите эту ось:

1) A $(3; -2; 0)$;

2) B $(2; 0; -3)$;

3) C $(-2; 0; 0)$;

4) D $(0; 1; 0)$;

5) E $(0; 0; -8)$;

6) F $(-4; 0; 0)$.

Для того чтобы точка лежала на одной из координатных осей в трехмерном пространстве, две из ее трех координат должны быть равны нулю, а третья – не равна нулю.

• Точка лежит на оси абсцисс ($Ox$), если ее координаты имеют вид $(x; 0; 0)$, где $x \neq 0$.
• Точка лежит на оси ординат ($Oy$), если ее координаты имеют вид $(0; y; 0)$, где $y \neq 0$.
• Точка лежит на оси аппликат ($Oz$), если ее координаты имеют вид $(0; 0; z)$, где $z \neq 0$.

Проанализируем каждую точку:

1) A (3; –2; 0)

У точки $A$ две координаты, $x = 3$ и $y = -2$, не равны нулю. Только одна координата $z = 0$. Следовательно, точка $A$ не лежит ни на одной из координатных осей. Она лежит в координатной плоскости $Oxy$.
Ответ: Нет, точка не лежит на координатной оси.

2) B (2; 0; –3)

У точки $B$ две координаты, $x = 2$ и $z = -3$, не равны нулю. Только одна координата $y = 0$. Следовательно, точка $B$ не лежит ни на одной из координатных осей. Она лежит в координатной плоскости $Oxz$.
Ответ: Нет, точка не лежит на координатной оси.

3) C (–2; 0; 0)

У точки $C$ координаты $y = 0$ и $z = 0$. Координата $x = -2$ не равна нулю. Это соответствует условию для точки, лежащей на оси абсцисс.
Ответ: Да, точка лежит на оси абсцисс ($Ox$).

4) D (0; 1; 0)

У точки $D$ координаты $x = 0$ и $z = 0$. Координата $y = 1$ не равна нулю. Это соответствует условию для точки, лежащей на оси ординат.
Ответ: Да, точка лежит на оси ординат ($Oy$).

5) E (0; 0; –8)

У точки $E$ координаты $x = 0$ и $y = 0$. Координата $z = -8$ не равна нулю. Это соответствует условию для точки, лежащей на оси аппликат.
Ответ: Да, точка лежит на оси аппликат ($Oz$).

6) F (–4; 0; 0)

У точки $F$ координаты $y = 0$ и $z = 0$. Координата $x = -4$ не равна нулю. Это соответствует условию для точки, лежащей на оси абсцисс.
Ответ: Да, точка лежит на оси абсцисс ($Ox$).

4. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости, и в случае утвердительного ответа укажите эту плоскость:

1) $M (3; -2; 1);$

2) $N (-2; 0; 4);$

3) $P (-4; 4; 0);$

4) $K (0; 1; 6);$

5) $D (-8; 0; 0);$

6) $Q (-8; 9; 3).$

4. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости, и в случае утвердительного ответа укажите эту плоскость:

1) M $ (3; -2; 1) $;

2) N $ (-2; 0; 4) $;

3) P $ (-4; 4; 0) $;

4) K $ (0; 1; 6) $;

5) D $ (-8; 0; 0) $;

6) Q $ (-8; 9; 3) $.

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x; y; z)$ одной из координатных плоскостей, необходимо проверить, равна ли одна из ее координат нулю.
- Если координата $z = 0$, точка лежит в плоскости $Oxy$.
- Если координата $y = 0$, точка лежит в плоскости $Oxz$.
- Если координата $x = 0$, точка лежит в плоскости $Oyz$.
Если две координаты равны нулю, точка лежит на одной из координатных осей и, соответственно, принадлежит двум координатным плоскостям, которые на этой оси пересекаются. Если все три координаты отличны от нуля, точка не принадлежит ни одной из координатных плоскостей.

1) M (3; –2; 1);
У точки $M$ все три координаты ($x=3$, $y=-2$, $z=1$) отличны от нуля. Следовательно, эта точка не принадлежит ни одной из координатных плоскостей.
Ответ: Точка M не принадлежит координатной плоскости.

2) N (–2; 0; 4);
У точки $N$ координата $y = 0$. Это означает, что точка лежит в плоскости, образованной осями $Ox$ и $Oz$.
Ответ: Да, принадлежит плоскости $Oxz$.

3) P (–4; 4; 0);
У точки $P$ координата $z = 0$. Это означает, что точка лежит в плоскости, образованной осями $Ox$ и $Oy$.
Ответ: Да, принадлежит плоскости $Oxy$.

4) K (0; 1; 6);
У точки $K$ координата $x = 0$. Это означает, что точка лежит в плоскости, образованной осями $Oy$ и $Oz$.
Ответ: Да, принадлежит плоскости $Oyz$.

5) D (–8; 0; 0);
У точки $D$ две координаты равны нулю: $y = 0$ и $z = 0$. Это означает, что точка лежит на оси $Ox$. Поскольку точка лежит на оси $Ox$, она одновременно принадлежит и плоскости $Oxy$ (так как $z=0$), и плоскости $Oxz$ (так как $y=0$).
Ответ: Да, принадлежит плоскостям $Oxy$ и $Oxz$.

6) Q (–8; 9; 3);
У точки $Q$ все три координаты ($x=-8$, $y=9$, $z=3$) отличны от нуля. Следовательно, эта точка не принадлежит ни одной из координатных плоскостей.
Ответ: Точка Q не принадлежит координатной плоскости.

5. Какие из точек $A (4; -7; 1)$, $M (4; 7; -1)$, $T (4; -7; -1)$, $R (-4; 7; -1)$ лежат на одной прямой, параллельной оси аппликат?

5. Какие из точек $A (4; -7; 1)$, $M (4; 7; -1)$, $T (4; -7; -1)$, $R (-4; 7; -1)$ лежат на одной прямой, параллельной оси аппликат?

Прямая, параллельная оси аппликат (оси Oz), состоит из точек, у которых координаты абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) постоянны, а координата аппликаты ($z$) может принимать любые значения. То есть, все точки, лежащие на такой прямой, имеют вид $(x_0; y_0; z)$, где $x_0$ и $y_0$ — постоянные числа.

Проанализируем координаты данных точек, чтобы найти те, у которых совпадают первые две координаты ($x$ и $y$):

• Точка A имеет координаты $(4; -7; 1)$. Здесь $x=4$, $y=-7$.
• Точка M имеет координаты $(4; 7; -1)$. Здесь $x=4$, $y=7$.
• Точка T имеет координаты $(4; -7; -1)$. Здесь $x=4$, $y=-7$.
• Точка R имеет координаты $(-4; 7; -1)$. Здесь $x=-4$, $y=7$.

Сравнивая координаты, мы видим, что у точек A и T совпадают и абсцисса, и ордината:

Для точки A: $x=4$, $y=-7$.
Для точки T: $x=4$, $y=-7$.

Поскольку у этих двух точек одинаковые координаты $x$ и $y$, они лежат на одной прямой, заданной уравнениями $x=4$ и $y=-7$. Эта прямая параллельна оси аппликат.

Ответ: A и T.