Страница 47 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $\left|\vec{a}\right|=4\sqrt{2}$, $\left|\vec{b}\right|=5$, $\angle(\vec{a},\vec{b})=45^\circ$. Найдите $\left|\vec{b}-3\vec{a}\right|$.

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $\lvert\vec{a}\rvert=4\sqrt{2}$, $\lvert\vec{b}\rvert=5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.

Найдите $\lvert\vec{b}-3\vec{a}\rvert$.

Для нахождения модуля вектора $|\vec{b} - 3\vec{a}|$ воспользуемся свойством скалярного произведения векторов: квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату. То есть, для любого вектора $\vec{v}$ справедливо равенство $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Применим это свойство к вектору $\vec{b} - 3\vec{a}$:

$|\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = (\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot (\vec{b} - 3\vec{a})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$(\vec{b} - 3\vec{a}) \cdot (\vec{b} - 3\vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot (3\vec{a}) - (3\vec{a}) \cdot \vec{b} + (3\vec{a}) \cdot (3\vec{a})$

$= |\vec{b}|^2 - 3(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9(\vec{a} \cdot \vec{a})$

$= |\vec{b}|^2 - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{a}|^2$

Для дальнейших вычислений найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

По условию задачи нам даны:

$|\vec{a}| = 4\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = 5$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$

Косинус угла $45^\circ$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 20 \cdot \frac{2}{2} = 20$

Теперь подставим все известные значения — $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — в выражение для квадрата модуля:

$|\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{a}|^2$

$|\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = 5^2 - 6 \cdot 20 + 9 \cdot (4\sqrt{2})^2$

Выполним вычисления:

$|\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = 25 - 120 + 9 \cdot (16 \cdot 2) = 25 - 120 + 9 \cdot 32 = 25 - 120 + 288$

$|\vec{b} - 3\vec{a}|^2 = 193$

Модуль вектора является неотрицательной величиной, поэтому, чтобы найти $|\vec{b} - 3\vec{a}|$, извлечем квадратный корень из полученного результата:

$|\vec{b} - 3\vec{a}| = \sqrt{193}$

Ответ: $\sqrt{193}$

73. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$, где $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$, $\vec{k} \perp \vec{p}$.

73. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$, где $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$, $\vec{k} \perp \vec{p}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

По условию задачи даны векторы $\vec{a} = 3\vec{k} + \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 2\vec{p}$. Также известно, что модули векторов $|\vec{k}| = 1$ и $|\vec{p}| = 1$, и векторы $\vec{k}$ и $\vec{p}$ ортогональны ($\vec{k} \perp \vec{p}$), что означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{k} \cdot \vec{p} = 0$.

Для нахождения косинуса угла необходимо последовательно вычислить скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и их модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$.

1. Вычисление скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{k} + \vec{p}) \cdot (\vec{k} - 2\vec{p})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\vec{k} \cdot \vec{k} - 3\vec{k} \cdot 2\vec{p} + \vec{p} \cdot \vec{k} - \vec{p} \cdot 2\vec{p} = 3|\vec{k}|^2 - 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + (\vec{p} \cdot \vec{k}) - 2|\vec{p}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{k}|=1$, $|\vec{p}|=1$ и $\vec{k} \cdot \vec{p} = 0$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 0 + 0 - 2 \cdot 1^2 = 3 - 0 + 0 - 2 = 1$

2. Вычисление модуля вектора $|\vec{a}|$

Модуль вектора в квадрате равен скалярному произведению вектора на самого себя: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$.

$|\vec{a}|^2 = (3\vec{k} + \vec{p}) \cdot (3\vec{k} + \vec{p}) = 9(\vec{k} \cdot \vec{k}) + 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + (\vec{p} \cdot \vec{p})$

$|\vec{a}|^2 = 9|\vec{k}|^2 + 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + |\vec{p}|^2$

Подставим известные значения:

$|\vec{a}|^2 = 9 \cdot 1^2 + 6 \cdot 0 + 1^2 = 9 + 0 + 1 = 10$

Следовательно, $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

3. Вычисление модуля вектора $|\vec{b}|$

$|\vec{b}|^2 = (\vec{k} - 2\vec{p}) \cdot (\vec{k} - 2\vec{p}) = (\vec{k} \cdot \vec{k}) - 4(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 4(\vec{p} \cdot \vec{p})$

$|\vec{b}|^2 = |\vec{k}|^2 - 4(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 4|\vec{p}|^2$

Подставим известные значения:

$|\vec{b}|^2 = 1^2 - 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1^2 = 1 - 0 + 4 = 5$

Следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

4. Вычисление косинуса угла

Теперь подставим найденные значения в исходную формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$

Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под корня:

$\frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AD_1}$ и $\vec{C_1B}$;

2) $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{CC_1}$;

3) $\vec{DC}$ и $\vec{B_1D_1}$.

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AD_1}$ и $\vec{C_1B}$;

2) $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{CC_1}$;

3) $\vec{DC}$ и $\vec{B_1D_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Так как ребро куба равно $a$, то координаты вершин будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $D(0, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $B_1(a, 0, a)$
• $C_1(a, a, a)$
• $D_1(0, a, a)$

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2, z_2)$ находится по формуле: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

1) $\vec{AD_1}$ и $\vec{C_1B}$

Сначала найдем координаты векторов. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$.

$\vec{C_1B} = B - C_1 = (a-a, 0-a, 0-a) = (0, -a, -a)$.

Теперь вычислим их скалярное произведение:

$\vec{AD_1} \cdot \vec{C_1B} = 0 \cdot 0 + a \cdot (-a) + a \cdot (-a) = 0 - a^2 - a^2 = -2a^2$.

Ответ: $-2a^2$.

2) $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{CC_1}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (0-0, a-0, a-a) = (0, a, 0)$.

$\vec{CC_1} = C_1 - C = (a-a, a-a, a-0) = (0, 0, a)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{A_1D_1} \cdot \vec{CC_1} = 0 \cdot 0 + a \cdot 0 + 0 \cdot a = 0$.

Результат равен нулю, так как векторы ортогональны (перпендикулярны). Вектор $\vec{A_1D_1}$ параллелен оси $Oy$, а вектор $\vec{CC_1}$ параллелен оси $Oz$.

Ответ: $0$.

3) $\vec{DC}$ и $\vec{B_1D_1}$

Найдем координаты векторов:

$\vec{DC} = C - D = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$.

$\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (0-a, a-0, a-a) = (-a, a, 0)$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{DC} \cdot \vec{B_1D_1} = a \cdot (-a) + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 = -a^2$.

Ответ: $-a^2$.

75. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точка $F$ — середина ребра $BD$ (рис. 16). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{CF}$ и $\vec{CB}$;

2) $\vec{CF}$ и $\vec{AD}$.

Рис. 16

75. Ребро правильного тетраэдра DABC равно $a$, точка F — середина ребра BD (рис. 16). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{CF}$ и $\vec{CB}$;

2) $\vec{CF}$ и $\vec{AD}$.

1) $\vec{CF}$ и $\vec{CB}$

Поскольку DABC — правильный тетраэдр, все его грани являются равносторонними треугольниками со стороной $a$. Следовательно, длины всех ребер равны $a$, а углы в гранях равны $60^\circ$.

Для нахождения скалярного произведения воспользуемся векторным разложением. Точка F является серединой ребра BD, поэтому вектор $\vec{CF}$ можно выразить как полусумму векторов, исходящих из той же вершины C к концам отрезка BD: $\vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{CB} + \vec{CD})$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{CF}$ и $\vec{CB}$: $\vec{CF} \cdot \vec{CB} = \frac{1}{2}(\vec{CB} + \vec{CD}) \cdot \vec{CB}$.

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, раскроем скобки: $\frac{1}{2}(\vec{CB} \cdot \vec{CB} + \vec{CD} \cdot \vec{CB})$.

Вычислим каждое слагаемое:

• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{CB} \cdot \vec{CB} = |\vec{CB}|^2 = a^2$.
• Скалярное произведение векторов $\vec{CD}$ и $\vec{CB}$ вычисляется по формуле $|\vec{CD}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(\angle DCB)$. Так как грань BCD — равносторонний треугольник, угол $\angle DCB = 60^\circ$. Тогда $\vec{CD} \cdot \vec{CB} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Подставим найденные значения обратно в выражение: $\vec{CF} \cdot \vec{CB} = \frac{1}{2}(a^2 + \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{2a^2 + a^2}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{3a^2}{2}) = \frac{3a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3a^2}{4}$

2) $\vec{CF}$ и $\vec{AD}$

Для нахождения скалярного произведения $\vec{CF} \cdot \vec{AD}$ также используем метод разложения векторов. Выберем в качестве базиса векторы, исходящие из вершины C: $\vec{CA}$, $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$.

Из первого пункта мы знаем разложение вектора $\vec{CF}$: $\vec{CF} = \frac{1}{2}(\vec{CB} + \vec{CD})$.

Выразим вектор $\vec{AD}$ через базисные векторы по правилу разности векторов: $\vec{AD} = \vec{CD} - \vec{CA}$.

Теперь вычислим их скалярное произведение: $\vec{CF} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{CB} + \vec{CD}) \cdot (\vec{CD} - \vec{CA})$.

Раскроем скобки: $\vec{CF} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{CB} \cdot \vec{CD} - \vec{CB} \cdot \vec{CA} + \vec{CD} \cdot \vec{CD} - \vec{CD} \cdot \vec{CA})$.

Найдём значения скалярных произведений базисных векторов. Так как тетраэдр правильный, длины всех векторов равны $a$, а углы между ними ($\angle ACB$, $\angle BCD$, $\angle ACD$) равны $60^\circ$.

• $\vec{CB} \cdot \vec{CD} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
• $\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
• $\vec{CD} \cdot \vec{CD} = |\vec{CD}|^2 = a^2$.
• $\vec{CD} \cdot \vec{CA} = |\vec{CD}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Подставим эти значения в выражение: $\vec{CF} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} + a^2 - \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2}(a^2 - \frac{a^2}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{a^2}{2}) = \frac{a^2}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2}{4}$

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На ребре $AA_1$ отметили точку $P$ так, что $AP : PA_1 = 3 : 4$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{C_1P}$ и $\vec{AA_1}$.

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На ребре $AA_1$ отметили точ- ку $P$ так, что $AP : PA_1 = 3 : 4$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{C_1P}$ и $\vec{AA_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Поскольку ребро куба равно $a$, то координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $C(a, a, 0)$, так как $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$
• $C_1(a, a, a)$, так как $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

Точка $P$ лежит на ребре $AA_1$ и делит его в отношении $AP : PA_1 = 3 : 4$. Длина всего ребра $AA_1$ равна $a$. Найдем длину отрезка $AP$:

$|AP| = \frac{3}{3+4} \cdot |AA_1| = \frac{3}{7}a$

Так как точка $P$ находится на оси $Oz$ (ребре $AA_1$), ее координаты будут $P(0, 0, \frac{3}{7}a)$.

Теперь найдем координаты векторов $\vec{C_1P}$ и $\vec{AA_1}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{C_1P}$:

$\vec{C_1P} = \{x_P - x_{C_1}; y_P - y_{C_1}; z_P - z_{C_1}\} = \{0 - a; 0 - a; \frac{3}{7}a - a\} = \{-a; -a; -\frac{4}{7}a\}$

Для вектора $\vec{AA_1}$:

$\vec{AA_1} = \{x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A\} = \{0 - 0; 0 - 0; a - 0\} = \{0; 0; a\}$

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=\{u_x; u_y; u_z\}$ и $\vec{v}=\{v_x; v_y; v_z\}$ в координатах вычисляется по формуле:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$

Вычислим искомое скалярное произведение векторов $\vec{C_1P}$ и $\vec{AA_1}$:

$\vec{C_1P} \cdot \vec{AA_1} = (-a) \cdot 0 + (-a) \cdot 0 + (-\frac{4}{7}a) \cdot a = 0 + 0 - \frac{4}{7}a^2 = -\frac{4}{7}a^2$

Ответ: $-\frac{4}{7}a^2$

77. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $\vec{a} (1; -3; 8), \vec{b} (4; -2; -6);$

2) $\vec{a} (-3; -8; 9), \vec{b} (-7; -1; -2).$

77. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ \vec{a} $ (1; -3; 8), $ \vec{b} $ (4; -2; -6);

2) $ \vec{a} $ (-3; -8; 9), $ \vec{b} $ (-7; -1; -2).

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ с координатами $(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}$ с координатами $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле, представляющей собой сумму произведений их соответствующих координат:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

1) Для векторов $\vec{a}(1; -3; 8)$ и $\vec{b}(4; -2; -6)$ найдем скалярное произведение, подставив их координаты в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + (-3) \cdot (-2) + 8 \cdot (-6) = 4 + 6 - 48 = 10 - 48 = -38$.

Ответ: -38

2) Для векторов $\vec{a}(-3; -8; 9)$ и $\vec{b}(-7; -1; -2)$ найдем скалярное произведение, подставив их координаты в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot (-7) + (-8) \cdot (-1) + 9 \cdot (-2) = 21 + 8 - 18 = 29 - 18 = 11$.

Ответ: 11

78. Даны векторы $\vec{a} (4; -2; p)$ и $\vec{b} (5; p; -3)$. При каком значении $p$ выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$?

78. Даны векторы $\vec{a} (4; -2; p)$ и $\vec{b} (5; p; -3)$. При каком значении $p$ выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$?

Даны два вектора с координатами: $\vec{a}(4; -2; p)$ и $\vec{b}(5; p; -3)$.

Скалярное произведение двух векторов в трехмерном пространстве вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат. Формула скалярного произведения для векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ выглядит следующим образом:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Применим эту формулу к заданным векторам:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 + (-2) \cdot p + p \cdot (-3)$

Упростим полученное выражение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 20 - 2p - 3p = 20 - 5p$

Согласно условию задачи, скалярное произведение этих векторов равно 8. Составим уравнение:

$20 - 5p = 8$

Теперь решим это линейное уравнение относительно переменной $p$:

$20 - 8 = 5p$

$12 = 5p$

$p = \frac{12}{5}$

$p = 2.4$

Таким образом, равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$ выполняется при $p = 2.4$.

Ответ: $2.4$

79. Даны векторы $\vec{a} (6; -1; -5)$ и $\vec{b} (x; 2; 2)$. При каком значении $x$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны?

79. Даны векторы $\vec{a}$ $(6; -1; -5)$ и $\vec{b}$ $(x; 2; 2)$. При каком значении $x$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны?

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2; a_3)$ и $\vec{b}(b_1; b_2; b_3)$ находится по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

В нашем случае даны векторы $\vec{a}(6; -1; -5)$ и $\vec{b}(x; 2; 2)$.

Чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Подставим координаты векторов в формулу:

$6 \cdot x + (-1) \cdot 2 + (-5) \cdot 2 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$6x - 2 - 10 = 0$

$6x - 12 = 0$

$6x = 12$

$x = \frac{12}{6}$

$x = 2$

Следовательно, при значении $x = 2$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут перпендикулярны.

Ответ: 2

80. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} (5; -1; -2) $ и $ \vec{b} (2; 6; -3) $.

80. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} (5; -1; -2) $ и $ \vec{b} (2; 6; -3) $.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}(x_a; y_a; z_a)$ и $\vec{b}(x_b; y_b; z_b)$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b}{\sqrt{x_a^2 + y_a^2 + z_a^2} \cdot \sqrt{x_b^2 + y_b^2 + z_b^2}}$

В нашем случае даны векторы $\vec{a}(5; -1; -2)$ и $\vec{b}(2; 6; -3)$.

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 2 + (-1) \cdot 6 + (-2) \cdot (-3) = 10 - 6 + 6 = 10$

2. Найдем длину (модуль) вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$

3. Найдем длину (модуль) вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$

4. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{10}{\sqrt{30} \cdot 7} = \frac{10}{7\sqrt{30}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{30}$:

$\cos \alpha = \frac{10 \cdot \sqrt{30}}{7\sqrt{30} \cdot \sqrt{30}} = \frac{10\sqrt{30}}{7 \cdot 30} = \frac{10\sqrt{30}}{210}$

Сократим дробь на 10:

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{30}}{21}$

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{21}$

81. Найдите угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$, если A (1; 4; -1), B (4; 7; 0), C (-2; 1; -3).

81. Найдите угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$, если A (1; 4; -1), B (4; 7; 0), C (-2; 1; -3).

Для того чтобы найти угол между векторами, можно использовать формулу косинуса угла, которая выражается через скалярное произведение векторов и их длины (модули):

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

В нашем случае, $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{AC}$.

1. Найдем координаты векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$

Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки.

Для вектора $\vec{BA}$, начало в точке $B(4; 7; 0)$ и конец в точке $A(1; 4; -1)$:

$\vec{BA} = (1 - 4; 4 - 7; -1 - 0) = (-3; -3; -1)$

Для вектора $\vec{AC}$, начало в точке $A(1; 4; -1)$ и конец в точке $C(-2; 1; -3)$:

$\vec{AC} = (-2 - 1; 1 - 4; -3 - (-1)) = (-3; -3; -2)$

2. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$\vec{BA} \cdot \vec{AC} = (-3) \cdot (-3) + (-3) \cdot (-3) + (-1) \cdot (-2) = 9 + 9 + 2 = 20$

3. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$

Длина вектора $\vec{a}(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$|\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 9 + 4} = \sqrt{22}$

4. Найдем косинус угла и сам угол

Теперь подставим все найденные значения в исходную формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{20}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{22}} = \frac{20}{\sqrt{19 \cdot 22}} = \frac{20}{\sqrt{418}}$

Угол $\alpha$ — это арккосинус полученного значения.

$\alpha = \arccos\left(\frac{20}{\sqrt{418}}\right)$

Ответ: $\arccos\left(\frac{20}{\sqrt{418}}\right)$

82. Даны векторы $\vec{a} (4; -7; -2)$ и $\vec{b} (3; y; -1)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

82. Даны векторы $\vec{a} (4; -7; -2)$ и $\vec{b} (3; y; -1)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Даны векторы $\vec{a}(4; -7; -2)$ и $\vec{b}(3; y; -1)$. Тип угла между двумя ненулевыми векторами — острый, прямой или тупой — определяется знаком их скалярного произведения. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ связан со скалярным произведением формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$. Поскольку длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда положительны (для ненулевых векторов), знак $\cos\theta$ совпадает со знаком скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ через их координаты: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.
Подставим значения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + (-7) \cdot y + (-2) \cdot (-1) = 12 - 7y + 2 = 14 - 7y$.

1) острый;

Угол между векторами является острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), если его косинус положителен, а следовательно, и скалярное произведение больше нуля.
$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$
$14 - 7y > 0$
$14 > 7y$
$2 > y$
Ответ: при $y < 2$.

2) прямой;

Угол между векторами является прямым ($90^\circ$), если его косинус равен нулю, а следовательно, и скалярное произведение равно нулю.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$14 - 7y = 0$
$7y = 14$
$y = 2$
Ответ: при $y = 2$.

3) тупой?

Угол между векторами является тупым (от $90^\circ$ до $180^\circ$), если его косинус отрицателен, а следовательно, и скалярное произведение меньше нуля.
$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$
$14 - 7y < 0$
$14 < 7y$
$2 < y$
Ответ: при $y > 2$.

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (5; -3; 2)$, $B (9; -1; 3)$, $C (12; -5; -1)$ и $D (8; -7; -2)$ является прямоугольником.

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (5; -3; 2)$, $B (9; -1; 3)$, $C (12; -5; -1)$ и $D (8; -7; -2)$ является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, необходимо с помощью векторов показать, что он является параллелограммом, у которого есть хотя бы один прямой угол.

1. Проверим, является ли ABCD параллелограммом.

Четырёхугольник является параллелограммом, если векторы его противоположных сторон равны. Найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника, по формуле $\vec{PQ} = (x_Q - x_P; y_Q - y_P; z_Q - z_P)$ для точек $P(x_P, y_P, z_P)$ и $Q(x_Q, y_Q, z_Q)$.

Даны вершины: A(5; -3; 2), B(9; -1; 3), C(12; -5; -1) и D(8; -7; -2).

Вычислим векторы для противоположных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{AB} = (9 - 5; -1 - (-3); 3 - 2) = (4; 2; 1)$

$\vec{DC} = (12 - 8; -5 - (-7); -1 - (-2)) = (4; 2; 1)$

Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ имеют одинаковые координаты, они равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$. Это означает, что стороны AB и DC параллельны и равны по длине, следовательно, четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

2. Проверим наличие прямого угла.

Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, достаточно доказать, что его смежные стороны перпендикулярны. Проверим перпендикулярность сторон AB и AD. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдём вектор $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (8 - 5; -7 - (-3); -2 - 2) = (3; -4; -4)$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (4)(3) + (2)(-4) + (1)(-4) = 12 - 8 - 4 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, угол $\angle DAB$ между сторонами AB и AD — прямой.

Таким образом, четырёхугольник ABCD является параллелограммом с прямым углом, а значит, является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, так как его противоположные стороны в виде векторов равны ($\vec{AB} = \vec{DC}$), что доказывает, что это параллелограмм, а скалярное произведение векторов смежных сторон равно нулю ($\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$), что доказывает наличие прямого угла.