Номер 82, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Даны векторы $\vec{a} (4; -7; -2)$ и $\vec{b} (3; y; -1)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

82. Даны векторы $\vec{a} (4; -7; -2)$ и $\vec{b} (3; y; -1)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Даны векторы $\vec{a}(4; -7; -2)$ и $\vec{b}(3; y; -1)$. Тип угла между двумя ненулевыми векторами — острый, прямой или тупой — определяется знаком их скалярного произведения. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ связан со скалярным произведением формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$. Поскольку длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда положительны (для ненулевых векторов), знак $\cos\theta$ совпадает со знаком скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ через их координаты: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.
Подставим значения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + (-7) \cdot y + (-2) \cdot (-1) = 12 - 7y + 2 = 14 - 7y$.

1) острый;

Угол между векторами является острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), если его косинус положителен, а следовательно, и скалярное произведение больше нуля.
$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$
$14 - 7y > 0$
$14 > 7y$
$2 > y$
Ответ: при $y < 2$.

2) прямой;

Угол между векторами является прямым ($90^\circ$), если его косинус равен нулю, а следовательно, и скалярное произведение равно нулю.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$14 - 7y = 0$
$7y = 14$
$y = 2$
Ответ: при $y = 2$.

3) тупой?

Угол между векторами является тупым (от $90^\circ$ до $180^\circ$), если его косинус отрицателен, а следовательно, и скалярное произведение меньше нуля.
$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$
$14 - 7y < 0$
$14 < 7y$
$2 < y$
Ответ: при $y > 2$.