Номер 76, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На ребре $AA_1$ отметили точку $P$ так, что $AP : PA_1 = 3 : 4$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{C_1P}$ и $\vec{AA_1}$.

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На ребре $AA_1$ отметили точ- ку $P$ так, что $AP : PA_1 = 3 : 4$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{C_1P}$ и $\vec{AA_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Поскольку ребро куба равно $a$, то координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $C(a, a, 0)$, так как $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$
• $C_1(a, a, a)$, так как $\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

Точка $P$ лежит на ребре $AA_1$ и делит его в отношении $AP : PA_1 = 3 : 4$. Длина всего ребра $AA_1$ равна $a$. Найдем длину отрезка $AP$:

$|AP| = \frac{3}{3+4} \cdot |AA_1| = \frac{3}{7}a$

Так как точка $P$ находится на оси $Oz$ (ребре $AA_1$), ее координаты будут $P(0, 0, \frac{3}{7}a)$.

Теперь найдем координаты векторов $\vec{C_1P}$ и $\vec{AA_1}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{C_1P}$:

$\vec{C_1P} = \{x_P - x_{C_1}; y_P - y_{C_1}; z_P - z_{C_1}\} = \{0 - a; 0 - a; \frac{3}{7}a - a\} = \{-a; -a; -\frac{4}{7}a\}$

Для вектора $\vec{AA_1}$:

$\vec{AA_1} = \{x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A\} = \{0 - 0; 0 - 0; a - 0\} = \{0; 0; a\}$

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=\{u_x; u_y; u_z\}$ и $\vec{v}=\{v_x; v_y; v_z\}$ в координатах вычисляется по формуле:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$

Вычислим искомое скалярное произведение векторов $\vec{C_1P}$ и $\vec{AA_1}$:

$\vec{C_1P} \cdot \vec{AA_1} = (-a) \cdot 0 + (-a) \cdot 0 + (-\frac{4}{7}a) \cdot a = 0 + 0 - \frac{4}{7}a^2 = -\frac{4}{7}a^2$

Ответ: $-\frac{4}{7}a^2$