Номер 71, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $60^\circ$, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$.

Найдите скалярное произведение $(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$.

71. Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $60^\circ$, $ |\vec{a}|=|\vec{b}|=1 $.
Найдите скалярное произведение $ (3\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b}) $.

Для того чтобы найти скалярное произведение $(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$, необходимо раскрыть скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:

$(3\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 3\vec{a} \cdot \vec{a} - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Воспользуемся свойствами скалярного произведения:

1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля): $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$.
2. Скалярное произведение коммутативно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Применяя эти свойства, упростим выражение:

$3|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 = 3|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2$

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, используя формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

По условию задачи, $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$, и угол между ними равен $60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Подставим найденные и данные значения в упрощенное выражение:

$3|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 = 3(1)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) - (1)^2 = 3 \cdot 1 - 1 - 1 = 3 - 2 = 1$

Ответ: 1