Номер 65, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AD$ отметили точку $M$ так, что $AM : MD = 1 : 3$, а на отрезке $C_1D$ — точку $K$ так, что $C_1K : KD = 3 : 4$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$.

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AD$ отметили точку $M$ так, что $AM : MD = 1 : 3$, а на отрезке $C_1D$ — точку $K$ так, что $C_1K : KD = 3 : 4$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{BA}$, $\vec{BC}$ и $\vec{BB_1}$.

Для решения задачи введем базисные векторы, которые нам даны в условии: $\vec{a} = \vec{BA}$, $\vec{c} = \vec{BC}$ и $\vec{b_1} = \vec{BB_1}$.

Вектор $\vec{MK}$ можно выразить через правило ломаной линии или как разность векторов, выходящих из одной точки. Выберем второй способ, представив $\vec{MK}$ как разность векторов, проведенных из вершины B:

$\vec{MK} = \vec{BK} - \vec{BM}$

Теперь найдем каждый из векторов $\vec{BM}$ и $\vec{BK}$, выразив их через базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{c}$ и $\vec{b_1}$.

1. Найдем вектор $\vec{BM}$.

Точка M лежит на ребре AD. По правилу треугольника для векторов:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{AM}$

По условию, точка M делит ребро AD в отношении $AM : MD = 1 : 3$. Это означает, что длина отрезка AM составляет $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ длины всего ребра AD. Следовательно, вектор $\vec{AM}$ можно выразить через вектор $\vec{AD}$:

$\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AD}$

В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{AD} = \vec{BC}$. В наших обозначениях $\vec{BC} = \vec{c}$.

Значит, $\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{c}$.

Подставим это в выражение для $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{1}{4}\vec{BC} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c}$

2. Найдем вектор $\vec{BK}$.

Точка K лежит на отрезке $C_1D$ и делит его в отношении $C_1K : KD = 3 : 4$. Для нахождения вектора $\vec{BK}$ воспользуемся формулой деления отрезка в заданном отношении для векторов, проведенных из точки B:

$\vec{BK} = \frac{4 \cdot \vec{BC_1} + 3 \cdot \vec{BD}}{3+4} = \frac{4\vec{BC_1} + 3\vec{BD}}{7}$

Теперь выразим векторы $\vec{BC_1}$ и $\vec{BD}$ через наш базис:

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$. Поскольку $\vec{CC_1} = \vec{BB_1} = \vec{b_1}$, получаем: $\vec{BC_1} = \vec{c} + \vec{b_1}$.

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$. Поскольку $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{c}$, получаем: $\vec{BD} = \vec{a} + \vec{c}$.

Подставим эти выражения в формулу для $\vec{BK}$:

$\vec{BK} = \frac{4(\vec{c} + \vec{b_1}) + 3(\vec{a} + \vec{c})}{7} = \frac{4\vec{c} + 4\vec{b_1} + 3\vec{a} + 3\vec{c}}{7} = \frac{3\vec{a} + 7\vec{c} + 4\vec{b_1}}{7}$

Разделим почленно:

$\vec{BK} = \frac{3}{7}\vec{a} + \vec{c} + \frac{4}{7}\vec{b_1}$

3. Найдем искомый вектор $\vec{MK}$.

Теперь вычтем из вектора $\vec{BK}$ вектор $\vec{BM}$:

$\vec{MK} = \vec{BK} - \vec{BM} = \left(\frac{3}{7}\vec{a} + \vec{c} + \frac{4}{7}\vec{b_1}\right) - \left(\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c}\right)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при одинаковых базисных векторах:

$\vec{MK} = \frac{3}{7}\vec{a} + \vec{c} + \frac{4}{7}\vec{b_1} - \vec{a} - \frac{1}{4}\vec{c}$

$\vec{MK} = \left(\frac{3}{7} - 1\right)\vec{a} + \left(1 - \frac{1}{4}\right)\vec{c} + \frac{4}{7}\vec{b_1}$

Выполним вычисления:

$\frac{3}{7} - 1 = \frac{3-7}{7} = -\frac{4}{7}$

$1 - \frac{1}{4} = \frac{4-1}{4} = \frac{3}{4}$

Таким образом, получаем:

$\vec{MK} = -\frac{4}{7}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{c} + \frac{4}{7}\vec{b_1}$

Подставим обратно исходные обозначения векторов:

$\vec{MK} = -\frac{4}{7}\vec{BA} + \frac{3}{4}\vec{BC} + \frac{4}{7}\vec{BB_1}$

Ответ: $\vec{MK} = -\frac{4}{7}\vec{BA} + \frac{3}{4}\vec{BC} + \frac{4}{7}\vec{BB_1}$