Номер 63, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $A_1D_1$, точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $A_1D_1$, точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Для решения задачи представим искомый вектор $\vec{MK}$ в виде суммы векторов, идущих по ломаной линии из точки $M$ в точку $K$. Удобно выбрать путь, проходящий по ребрам куба или их частям. Один из таких путей: $M \to D_1 \to C_1 \to K$. Согласно правилу сложения векторов, получаем:

$ \vec{MK} = \vec{MD_1} + \vec{D_1C_1} + \vec{C_1K} $

Теперь последовательно выразим каждый вектор в этой сумме через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Точка $M$ является серединой ребра $A_1D_1$. Следовательно, вектор $\vec{MD_1}$ направлен так же, как и вектор $\vec{A_1D_1}$, а его длина равна половине длины ребра. Таким образом, $\vec{MD_1} = \frac{1}{2}\vec{A_1D_1}$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то векторы на параллельных ребрах равны: $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$. Следовательно:

$ \vec{MD_1} = \frac{1}{2}\vec{AD} $

2. Ребра $D_1C_1$ и $AB$ параллельны и одинаково направлены. Значит, соответствующие им векторы равны:

$ \vec{D_1C_1} = \vec{AB} $

3. Точка $K$ является серединой ребра $CC_1$. Вектор $\vec{C_1K}$ направлен от точки $C_1$ к точке $K$, то есть его направление противоположно направлению вектора $\vec{CC_1}$. Его длина равна половине длины ребра. Таким образом, $\vec{C_1K} = -\frac{1}{2}\vec{CC_1}$. Боковые ребра куба параллельны и равны, поэтому $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. Отсюда получаем:

$ \vec{C_1K} = -\frac{1}{2}\vec{AA_1} $

Теперь подставим полученные выражения в исходную сумму для вектора $\vec{MK}$:

$ \vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AA_1} $

Для удобства записи переставим слагаемые:

$ \vec{MK} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1} $

Ответ: $ \vec{MK} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1} $