Номер 68, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Высота пирамиды равна 24 см. Через точку $D$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны $45 \text{ см}^2$ и $320 \text{ см}^2$. Найдите расстояние от точки $D$ до основания данной пирамиды.

68. Высота пирамиды равна 24 см. Через точку $D$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны $45 \text{ см}^2$ и $320 \text{ см}^2$. Найдите расстояние от точки $D$ до основания данной пирамиды.

Обозначим высоту исходной пирамиды как $H$, а площадь её основания как $S_{big}$. По условию, $H = 24$ см и $S_{big} = 320$ см².

Через точку $D$ на высоте проведена плоскость, параллельная основанию. Эта плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, подобную ей. Основание этой меньшей пирамиды является верхним основанием образовавшейся усеченной пирамиды. Обозначим высоту меньшей пирамиды как $h_{small}$, а площадь её основания как $S_{small}$. По условию, $S_{small} = 45$ см².

Для подобных тел (в данном случае — для исходной и отсеченной пирамид) отношение площадей их оснований равно квадрату отношения их соответственных высот: $$ \frac{S_{small}}{S_{big}} = \left(\frac{h_{small}}{H}\right)^2 $$

Подставим известные значения в формулу: $$ \frac{45}{320} = \left(\frac{h_{small}}{24}\right)^2 $$

Сократим дробь в левой части уравнения: $$ \frac{45}{320} = \frac{9 \cdot 5}{64 \cdot 5} = \frac{9}{64} $$

Теперь уравнение выглядит так: $$ \frac{9}{64} = \left(\frac{h_{small}}{24}\right)^2 $$

Извлечем квадратный корень из обеих частей (так как высота является положительной величиной): $$ \sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{h_{small}}{24} $$ $$ \frac{3}{8} = \frac{h_{small}}{24} $$

Найдем высоту малой пирамиды $h_{small}$: $$ h_{small} = 24 \cdot \frac{3}{8} = 3 \cdot 3 = 9 \text{ см} $$

Искомое расстояние от точки $D$ до основания данной пирамиды — это высота усеченной пирамиды. Она равна разности высоты исходной пирамиды и высоты отсеченной малой пирамиды. $$ h_{D} = H - h_{small} $$ $$ h_{D} = 24 - 9 = 15 \text{ см} $$

Ответ: 15 см.